問題
実数に対してを満たす整数をで表す。たとえば，，，である。
(1) を満たす整数をすべて求めよ。
(2) を満たす実数の範囲を求めよ。
(3) は(2)で求めた範囲にあるものとする。を満たすをすべて求めよ。
出典：北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
(1) は二次不等式の解区間を実数で出し、その中に入る整数だけを拾う。(2) は整数部分 を整数 と見れば (1) と同じ不等式になるので、 に限られることから の区間に戻す。(3) は が (2) の範囲にあることを前提に、 と の2区間に分けて方程式を解き、得た解が本当に対応する区間に入っているかを確認する。
解答
(1)
不等式 を考える。方程式 の解は である。二次式の係数は正なので、不等式をみたす実数 は である。
ここで だから、この範囲に入る整数は である。
(2)
は整数である。したがって をみたすには、(1)より であることが必要十分である。
は を意味し、 は を意味する。よって求める の範囲は である。
(3)
(2)より、 は にあるので、 または である。
まず のとき、 であり、方程式は すなわち となる。 は正なので候補は である。実際に だから、この解は条件に合う。
次に のとき、 であり、方程式は すなわち となる。候補は であり、 だから、この解も条件に合う。
以上より、求める解は である。