問題
直角三角形において，，であるとする．とおく．点から辺に垂線を下ろし，点から辺に垂線を下ろす．との交点をとする．
(1) をで表せ．
(2) の面積をで表せ．
出典：北海道大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
三角形を座標平面に置き， を 軸， を 軸にそろえる。垂線の足 は直線 上のパラメータ表示と直交条件で求め， は 軸への射影として求める。最後に と の交点 を連立方程式で求め，底辺と高さから面積を出す。
解答
座標を用いて考える。直角三角形で ， だから， である。そこで とおく。
点 は から直線 に下ろした垂線の足である。直線 の方向ベクトルは であり，直線 上の点を と書ける。これが からの垂線の足であるためには，この点へのベクトルが の方向ベクトルと直交すればよい。したがって より よって である。
点 は から に下ろした垂線の足であり， は 軸上にあるから である。したがって なので である。
次に を求める。直線 は原点を通り，傾きが
であるから である。また直線 は と を通るので である。
2直線の交点を求めると
両辺に を掛けて となるから よって
である。
三角形 では，底辺を と見ると であり，高さは の 座標 である。したがって面積は
である。