問題
，それぞれがさいころを1回ずつ投げる．
(i) 同じ目が出たときはの勝ちとし，異なる目が出たときには大きい目を出した方の勝ちとする．
(ii) ，を自然数とする．が勝ったときは，が出した目の数の倍をの得点とする．が勝ったときには，が出した目の数にが出した目の数の倍を加えた合計をの得点とする．負けた者の得点は0とする．
の得点の期待値を，の得点の期待値をとする．以下の問いに答えよ．
(1) ，をそれぞれ，で表せ．
(2) となる最小の自然数と，そのときのの値を求めよ．
出典：北海道大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
36通りの出目を等確率として，A が勝つ領域 と B が勝つ領域 に分ける。期待値は二重和で表し，固定する変数を選んで個数を数える。最後は期待値が等しい条件を整数の一次不定方程式として扱う。
解答
A の出た目を ，B の出た目を とする。36通りはいずれも同様に確からしい。
A が勝つのは，同じ目の場合を含めて のときである。このとき A の得点は である。よって A の得点の期待値は 固定した に対して は 通りあるから， したがって である。
次に B の得点を考える。B が勝つのは のときであり，このとき B の得点は である。したがって
第1項では を固定すると の 通りがあるから
第2項では を固定すると の 通りがあるので
よって である。
A と B の期待値が等しくなる条件は すなわち である。7で割ると であるから，右辺より は5の倍数でなければならない。 は5と互いに素なので， は5の倍数である。
自然数 のうち最小のものは であり，このとき より である。したがって最小の は であり，そのときの期待値は である。