北海道大学 2010年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$a_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )}$ を第 $n$ 項とする数列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．

{a_{1}}, {a_{2}, a_{3}, a_{4}}, {a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9}}, \dots\dots

第 1 群 第 2 群 第 3 群 \dots\dots

$k$ を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1) 第 $k$ 群の最初の項を求めよ．

(2) 第 $k$ 群に含まれるすべての項の和 $S_{k}$ を求めよ．

(3) $(k^{2} + 1) S_{k} ≦ \frac{1}{100}$ を満たす最小の自然数 $k$ を求めよ．

出典：北海道大学 2010年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

奇数個ずつの群に分けているので，第 $k$ 群の開始番号を奇数和から求める。和 $S_{k}$ は $1/ (n (n + 1)) = 1/ n - 1/ (n + 1)$ の形を使って端だけを残す。最後は不等式を2次式に直し，最小の自然数を境目で確認する。

解答

第 $k$ 群には $2 k - 1$ 個の項が入る。第1群から第 $k - 1$ 群までに含まれる項数は $1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 3) = (k - 1)^{2}$ である。したがって，第 $k$ 群の最初の項は $a_{(k - 1)^{2} + 1}$ である。

第 $k$ 群は $a_{(k - 1)^{2} + 1}, a_{(k - 1)^{2} + 2}, \dots, a_{k^{2}}$ からなる。ここで $a_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ と部分分数分解できる。よって第 $k$ 群の和 $S_{k}$ は望ましく打ち消し合い，

S_{k} = n = (k - 1)^{2} + 1 \sum k^{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \frac{1}{( k - 1 ) ^{2} + 1} - \frac{1}{k ^{2} + 1}

である。通分すると

S_{k} = \frac{k ^{2} + 1 - {( k - 1 ) ^{2} + 1 }}{{( k - 1 ) ^{2} + 1 } ( k ^{2} + 1 )} = \frac{2 k - 1}{{( k - 1 ) ^{2} + 1 } ( k ^{2} + 1 )} .

したがって $S_{k} = \frac{2 k - 1}{{( k - 1 ) ^{2} + 1 } ( k ^{2} + 1 )}$ である。

条件 $(k^{2} + 1) S_{k} \leq \frac{1}{100}$ に上の式を代入すると $\frac{2 k - 1}{( k - 1 ) ^{2} + 1} \leq \frac{1}{100}$ となる。分母は正なので， $100 (2 k - 1) \leq (k - 1)^{2} + 1$ である。右辺を展開して整理すると $200 k - 100 \leq k^{2} - 2 k + 2$ すなわち $k^{2} - 202 k + 102 \geq 0$ である。

この2次式は上に開く。境目を確認するため， $k = 201, 202$ を代入すると $20 1^{2} - 202 \cdot 201 + 102 = - 99 < 0,$ $20 2^{2} - 202 \cdot 202 + 102 = 102 > 0.$ したがって条件を満たす最小の自然数は $k = 202$ である。

北海道大学 2010年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

北海道大学 2010年度
文系数学前期第3問