問題
実数に対して，座標平面上に点，点，点をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) ，，が一直線上にあるようなの値を求めよ．
(2) (1)で求めた値をとする．のとき，三角形の面積の最大値とそのときのの値を求めよ．
出典：北海道大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
3点の一直線条件も三角形の面積も，2本のベクトルの作る平行四辺形の面積で処理できる。とを作り，その行列式が0になる条件からを求める。では行列式が正になるため，面積はその半分として1変数関数に直し，微分で最大値を決める。
解答
(1)
点を基準にすると である。3点が一直線上にあるための条件は，この2つのベクトルの作る平行四辺形の面積が0になること，すなわち
である。左辺を計算すると である。より となり， である。
(2)
(1)より である。ではなので，三角形の面積は である。
導関数は である。において，となるのは である。また，では，ではである。したがってはで最大となる。このとき
である。よって である。