北海道大学 2009年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

座標平面上の点 $(a, b)$ で $a$ と $b$ のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ． $y = 3 x^{2} - 6 x$ で表される放物線を $C$ とする． $n$ を自然数とし， $C$ 上の点 $P (n, 3 n^{2} - 6 n)$ をとる．原点を $O (0, 0)$ とする． $C$ と線分 $O P$ で囲まれる図形を $D$ とする．ただし， $D$ は境界を含むとする． $0 ≦ k ≦ n$ を満たす整数 $k$ に対して，直線 $x = k$ 上にあり $D$ に含まれる格子点の個数を $f (k)$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $f (k)$ を求めよ．

(2) $D$ に含まれる格子点の総数を求めよ．

(3) $f (k)$ が最大になるような $k$ を求めよ．

出典：北海道大学 2009年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

線分 $O P$ の式を出し，縦線 $x = k$ ごとに放物線との上下差を数える。 $0 ≦ k ≦ n$ では線分 $O P$ が放物線より上にあり，両端の $y$ 座標はいずれも整数なので，格子点数は上下差に1を足せばよい。総数は $\sum k (n - k)$ に帰着し，最大値は整数 $k$ について2次式 $k (n - k)$ の頂点付近を調べる。

解答

点 $P$ は $P = (n, 3 n^{2} - 6 n) = (n, 3 n (n - 2))$ である。したがって，原点 $O$ と $P$ を結ぶ直線の方程式は $y = 3 (n - 2) x$ である。

(1)

$0 ≦ k ≦ n$ を満たす整数 $k$ を固定する。直線 $x = k$ 上で，放物線 $C$ の $y$ 座標は $3 k^{2} - 6 k$ であり，線分 $O P$ の $y$ 座標は $3 (n - 2) k$ である。その差は $3 (n - 2) k - (3 k^{2} - 6 k) = 3 k (n - k)$ である。 $0 ≦ k ≦ n$ ではこれは $0$ 以上であるから，この範囲では線分 $O P$ が放物線の上側にある。

上下の端点はいずれも格子点であり，境界も含むので，直線 $x = k$ 上で $D$ に含まれる格子点の個数は $f (k) = 3 k (n - k) + 1$ である。

(2)

$D$ に含まれる格子点の総数は $\sum_{k = 0}^{n} f (k) = \sum_{k = 0}^{n} {3 k (n - k) + 1}$ である。これを整理すると

k = 0 \sum n {3 k (n - k) + 1} = 3 (n k = 0 \sum n k - k = 0 \sum n k^{2}) + (n + 1) = 3 (n \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} - \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}) + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 ) ( n - 1 )}{2} + n + 1 = (n + 1) {\frac{n ( n - 1 )}{2} + 1}

である。よって総数は $(n + 1) {\frac{n ( n - 1 )}{2} + 1}$ である。

(3)

$f (k) = 3 k (n - k) + 1$ なので， $f (k)$ が最大になるのは $k (n - k)$ が最大になるときである。ここで $k (n - k) = - (k - \frac{n}{2})^{2} + \frac{n ^{2}}{4}$ である。したがって，整数 $k$ として $n /2$ に最も近い値を選べばよい。

$n$ が偶数のときは $k = \frac{n}{2}$ で最大となる。 $n$ が奇数のときは $n /2$ をはさむ二つの整数である $k = \frac{n - 1}{2}, \frac{n + 1}{2}$ で最大となる。

北海道大学 2009年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2009年度
文系数学前期第2問