北海道大学 2009年度
文系数学 前期 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 複素数平面、数と式
- 解法
- 複素数の極形式、展開・因数分解、実部虚部比較
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 15分
問題
γ=1+3iとする．ただし，iは虚数単位である．実数a，bに対して多項式P(x)を
P(x)=x4+ax3+bx2−8(3+1)x+16
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) P(γ)=0となるようにaとbを定めよ．
(2) (1)で定めたaとbに対して，P(x)=0となる複素数xでγ以外のものをすべて求めよ．
出典：北海道大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
係数が実数であることから，複素数の根は共役な根と対で現れる。したがって γ=1+3i が根なら 1−3i も根であり，対応する2次因子は x2−2x+4 である。この因子で割り切れるように残りの2次因子を x2+mx+n とおき，定数項と1次の係数から m,n を定める。最後に残りの2次方程式を解いて，γ 以外の根をすべて列挙する。
解答
(1)
P(x)は実数係数の多項式である。したがって，γ=1+3iが根なら，その共役複素数 γ=1−3i も根である。よって
(x−γ)(x−γ)=x2−(γ+γ)x+γγ=x2−2x+4
でP(x)は割り切れる。
そこで P(x)=(x2−2x+4)(x2+mx+n) とおく。右辺を展開すると
P(x)=x4+(m−2)x3+(n−2m+4)x2+(−2n+4m)x+4n
である。定数項を比較して 4n=16 より n=4 である。また，xの係数を比較して −2n+4m=−8(3+1) である。n=4を代入すると −8+4m=−83−8 だから m=−23 である。したがって a=m−2=−23−2=−2(3+1) であり，b=n−2m+4=4+43+4=8+43 である。よって a=−2(3+1),b=8+43 である。
(2)
(1)のとき P(x)=(x2−2x+4)(x2−23x+4) である。第一の因子の根は x=1±3i であり，このうち1+3iがγである。第二の因子について x2−23x+4=0 を解くと x=223±12−16=3±i である。したがって，γ以外の解は 1−3i,3+i,3−i である。
別解。γ=1+3iについて γ2=−2+23i,γ3=−8,γ4=−8−83i である。P(γ)=0に代入すると (−8−83i)−8a+b(−2+23i)−8(3+1)(1+3i)+16=0 である。実部と虚部を分けると −8−8a−2b−8(3+1)+16=0, −83+23b−8(3+1)3=0 である。虚部の式から 23b=83+24+83=163+24 より b=8+43 を得る。これを実部の式に代入すると 8a=−8−2b−83+8=−2(8+43)−83 より a=−2−23 となる。以後は同じく因数分解して残りの根を求めればよい。
