問題
，，とし，関数のグラフは定点を通るとする．このグラフのに対応する部分をで表す．
(1) をとを用いて表せ．
(2) が範囲を動くとき，上の点の動く領域をとする．
(i) を固定しての動く範囲を求めよ．
(ii) を図示せよ．
(3) の面積をで表し，の範囲での最大値と最小値を求めよ．
出典：北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
点 を通る条件で を消去し， を の一次式として見る。固定した に対し， では の係数 が非負なので， と がそれぞれ下側・上側境界を与える。面積は上下の差を で積分し，最後に を指定範囲 で微分して端点も比較する。
解答
(1)
グラフ が を通るので である。 より である。
(2)(i)
(1)を代入すると である。ここで だから であり，固定した に対して は の増加関数である。
したがって より，下端は ，上端は のときである。すなわち である。
(2)(ii)
は で表される。したがって図では，直線 と放物線 にはさまれた部分を， の範囲で境界を含めて塗ればよい。両境界は と で交わり，後者は点 である。
(3)
面積 は上下の差を積分して
である。 で である。したがって で増加から減少に変わり，最大値は である。
最小値は端点を比較する。
であり， なので最小値は である。