問題
，を実数とする．方程式が実数解をもち，すべての解の絶対値が1以下であるとする．
(1) この条件を満たす点全体を平面上に図示せよ．
(2) の最大値と最小値を求めよ．
出典：北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
2つの実数解を とおくと，解と係数の関係から ， であり，条件は である。したがって を固定し，正方形 内で の最大・最小を求めれば 平面の領域が出る。(2)は領域上の一次式 の最大最小なので，上側境界 と下側境界 を分けて調べる。別解として， の正方形上で直接 を評価してもよい。
解答
(1)
方程式の2つの実数解を とする。条件より であり，解と係数の関係から である。 とおくと，，すなわち である。固定した に対して と書くと であるから，最大値は のとき である。
最小値は，直線 が正方形 と交わる線分の端で起こる。 のときは端点 ， で である。 のときは端点 ， で である。 に戻すと，いずれの場合も となる。
よって求める領域は である。図では，折れ線 と放物線 にはさまれた部分を境界を含めて塗ればよい。
(2)
は の係数が正なので，最大値は上側境界 上を調べればよい。このとき である。これは で下に凸の2次式だから，最大値は端点で比較すればよい。 より，最大値は である。
最小値は下側境界 上で調べる。 では であり，最小は のとき である。 では であり，最小は のとき である。したがって最小値は である。
別解。 として， の正方形上で直接調べてもよい。 を固定するとこの式は の一次式なので，各 について最大最小は で起こる。さらに を調べれば十分で， となる。よって最大値4，最小値 が同じく得られる。