問題
方程式で定義される円を考える．
(1) 点と点を通り中心の座標がおよびである2つの円は，どちらも円に接することを示せ．
(2) 点が円上を動くとき，の最大値と最小値を求めよ．
出典：北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
まず円 を標準形に直し，中心と半径を確認する。(1)は，指定された2円の半径を から読み，中心間距離が半径の和または差に等しいことを示す。(2)では， を通る円の中心を の垂直二等分線上の とおく。 が 上にあることは，この円が と共有点をもつことに対応し，角の極値は共有が接する限界で起こる。弦 と外接円半径から を求める。
解答
円 は である。したがって中心は ，半径は である。
(1)
中心 の円を とする。この円は を通るので半径は である。 の中心と の中心との距離は
であり，これは半径の和 に等しい。よって は に外接する。
次に中心 の円を とする。この円の半径は である。 の中心と の中心との距離は であり，これは半径の差 に等しい。よって は に内接する。
(2)
点 を通る円を とする。 を通る円の中心は，線分 の垂直二等分線上にあるので とおける。半径を とすると である。 が円 上を動くとき， は と共有点をもつ。 を動かして共有点をもつ範囲の端では，2円 と が接する。(1)で示した2つの場合がその端であり， と である。
弦 の長さは であり，円 の半径が のとき である。 のとき だから となり， である。したがって である。 のとき だから である。このとき は鋭角なので である。
よって最大値は であり，最小値は である。