問題
袋の中に赤，青，黄，緑の4色の球が1個ずつ合計4個入っている．袋から球を1個取り出してその色を記録し袋にもどす試行を，くりかえし4回行う．こうして記録された相異なる色の数をとし，の値がである確率をとする．
(1) 確率とを求めよ．
(2) の期待値を求めよ．
出典：北海道大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
4回の記録はすべて同様に確からしく、全事象は 通りである。(1)の は4色が1回ずつ現れる並べ方、 は使う3色を選んだうえで、その3色がすべて少なくとも1回現れる列を包除原理で数える。(2)の期待値は、 を4色それぞれの出現有無の和と見れば一気に求まる。分布から直接確認する別解も可能で、 を補って同じ期待値を得る。
解答
(1)
1回ごとに4色のいずれかが記録されるので、4回の記録全体は 通りである。
まず 、すなわち4色すべてが現れる場合を数える。4回で4色すべてが現れるには、4色がそれぞれ1回ずつ現れればよい。その並べ方は 通りであるから である。
次に の場合を数える。現れる3色の選び方は 通りである。選んだ3色だけを使って4回記録し、しかも3色すべてが少なくとも1回現れる列の数は、包除原理により 通りである。したがって である。
(2)
4色をそれぞれ固定し、その色が4回のうち少なくとも1回記録されれば1、まったく記録されなければ0をとる量を考える。この4つの量の和が、相異なる色の数 である。
1つの色に注目すると、その色が1回も出ない確率は である。したがって、その色が少なくとも1回出る確率は である。期待値の和を用いると となる。よって
である。
別解。
分布を最後まで求めてもよい。 は4回とも同じ色なので である。 は使う2色を選び、その2色が両方とも出る列を数えて
である。すでに なので
となる。