北海道大学 2005年度
文系数学 前期 第3問

解答

解法1

$f(x)=x^2+ax+b$ であるから、

である。和の公式を用いると

なので、$\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f(k)=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{a(n+1)}{2}+b$ となる。一方、$\frac{1}{3}f(n)=\frac{1}{3}(n^2+an+b)$ である。

したがって、すべての自然数 $n$ について $\frac{(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{a(n+1)}{2}+b=\frac{1}{3}(n^2+an+b)$ が成り立つ。左辺を係数が見える形にすると $\frac{1}{3}{n}^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{a}{2}\right)n+\frac{1}{6}+\frac{a}{2}+b$ である。右辺は $\frac{1}{3}{n}^2+\frac{a}{3}n+\frac{b}{3}$ であるから、$n$ の係数比較より $\frac{1}{2}+\frac{a}{2}=\frac{a}{3}$ である。両辺を6倍して $3+3a=2a$ となるので $a=-3$ である。

次に定数項を比較すると $\frac{1}{6}+\frac{a}{2}+b=\frac{b}{3}$ であり、$a=-3$ を代入して $\frac{1}{6}-\frac{3}{2}+b=\frac{b}{3}$ を得る。すなわち $-\frac{4}{3}+b=\frac{b}{3}$ だから $\frac{2}{3}b=\frac{4}{3}$ となり、$b=2$ である。したがって $\boxed{f(x)=x^2-3x+2}$ である。

別解。

条件を小さい $n$ から読む。$n=1$ を代入すると $f(1)=\frac{1}{3}f(1)$ であるから $f(1)=0$ である。次に $n=2$ を代入すると $\frac{f(1)+f(2)}{2}=\frac{1}{3}f(2)$ であり、$f(1)=0$ より $\frac{1}{2}f(2)=\frac{1}{3}f(2)$ となる。したがって $f(2)=0$ である。 $f(x)$ は最高次係数が1の2次式で、$x=1,2$ を根にもつ。よって $f(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ である。この $f(x)$ は解法1で得たものと一致する。