北海道大学 2005年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1) $x$ についての2次方程式 $x^{2} - 2 k x - 3 k^{2} + 1 = 0$ が虚数解をもつような実数 $k$ の値の範囲を求めよ．

(2) (1)で求めた $k$ の範囲で $F (k) = \int_{0}^{k} (x^{2} - 2 k x - 3 k^{2} + 1) d x$ の最小値と最大値を求めよ．

出典：北海道大学 2005年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

(1)は2次方程式の虚数解条件を判別式 $D < 0$ として処理する。(2)では、(1)で得た $k$ の範囲が開区間であることに注意しながら、まず定積分を $k$ だけの3次関数に直す。あとは導関数の符号で増減を調べ、区間内の停留点 $k = \pm 1/ 11$ が実際に最小・最大を与えることを確認する。端点 $k = \pm 1/2$ は範囲に含まれないので、端点値を最大・最小として採用しない。

解答

(1)

方程式 $x^{2} - 2 k x - 3 k^{2} + 1 = 0$ の判別式を $D$ とする。虚数解をもつための条件は、実数解をもたないこと、すなわち $D < 0$ である。ここで $D = (- 2 k)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 k^{2} + 1) = 4 k^{2} + 12 k^{2} - 4 = 16 k^{2} - 4$ だから、 $16 k^{2} - 4 < 0$ となる。よって $k^{2} < \frac{1}{4}$ であり、求める範囲は $- \frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$ である。

(2)

$k$ を定数として積分すると

F (k) = \int_{0}^{k} (x^{2} - 2 k x - 3 k^{2} + 1) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - k x^{2} - 3 k^{2} x + x]_{0}^{k} = \frac{k ^{3}}{3} - k^{3} - 3 k^{3} + k = k - \frac{11}{3} k^{3}

である。したがって $F^{'} (k) = 1 - 11 k^{2}$ であり、 $- 1/2 < k < 1/2$ における停留点は $k = \pm \frac{1}{11}$ である。

導関数の符号は、 $F^{'} (k) < 0 (- \frac{1}{2} < k < - \frac{1}{11}),$ $F^{'} (k) > 0 (- \frac{1}{11} < k < \frac{1}{11}),$ $F^{'} (k) < 0 (\frac{1}{11} < k < \frac{1}{2})$ となる。よって $F (k)$ は $k = - 1/ 11$ で最小値を、 $k = 1/ 11$ で最大値をとる。

実際、

F (\frac{1}{11}) = \frac{1}{11} - \frac{11}{3} \cdot \frac{1}{11 11} = \frac{2}{3 11}

であり、奇関数であるから $F (- \frac{1}{11}) = - \frac{2}{3 11}$ である。したがって

最小値 - \frac{2}{3 11}, 最大値 \frac{2}{3 11}

である。

北海道大学 2005年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2005年度
文系数学前期第2問