北海道大学 2002年度
文系数学 前期 第4問

解答

(1)

$\alpha =\cos 72^{\circ }+i\sin 72^{\circ }$ であるから、$\alpha$ は偏角 $72^{\circ }$ の大きさ1の複素数である。したがって ${\alpha }^5=\cos 360^{\circ }+i\sin 360^{\circ }=1$ であり、$\alpha \ne 1$ である。 ${\alpha }^5=1$ より、$\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3,{\alpha }^4$ はすべて $x^5-1=0$ の解である。また $x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ であり、これら4つの数はいずれも1ではない。したがって $\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3,{\alpha }^4$ は $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ の4つの解である。

左辺 $(x-\alpha )(x-{\alpha }^2)(x-{\alpha }^3)(x-{\alpha }^4)$ は最高次係数1の4次式であり、右辺 $x^4+x^3+x^2+x+1$ も最高次係数1の4次式で、同じ4つの解をもつ。よって $\boxed{(x-\alpha )(x-{\alpha }^2)(x-{\alpha }^3)(x-{\alpha }^4)=x^4+x^3+x^2+x+1}$ である。

(2)

$\beta =\cos \frac{360^{\circ }}{n}+i\sin \frac{360^{\circ }}{n}$ とする。すると ${\beta }^n=1,\beta \ne 1$ であり、$\beta ,{\beta }^2,\dots ,{\beta }^{n-1}$ は互いに異なる。実際、$1\leqq j<k\leqq n-1$ で ${\beta }^j={\beta }^k$ なら ${\beta }^{k-j}=1$ となるが、$0<k-j<n$ なので矛盾する。

一方、$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)$ である。したがって、1以外のn乗根である $\beta ,{\beta }^2,\dots ,{\beta }^{n-1}$ は $x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1=0$ のすべての解である。よって

である。

ここに $x=1$ を代入すると $(1-\beta )(1-{\beta }^2)(1-{\beta }^3)\cdots (1-{\beta }^{n-1})=1+1+\cdots +1$ となる。右辺には1がn個あるから $\boxed{(1-\beta )(1-{\beta }^2)(1-{\beta }^3)\cdots (1-{\beta }^{n-1})=n}$ である。