問題
，をを満たす正の定数とする．
(1) 次の連立不等式の表す領域を図示せよ．
(2) 実数，が(1)の連立不等式を満たすとき，の最大値を，を用いて表せ．
出典：北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
まず第3の不等式を と書き直し、もとの四角形 の頂点のうち だけを切り落とす直線であることを確認する。領域の頂点は2本の斜線との交点で決まるので、それらを計算する。(2)では線形関数 の最大値は頂点でとるため、2つの新しい交点での値を比較する。
解答
(1)
第3の不等式は すなわち である。条件 から である。
まず、、、、 の表す領域は、頂点 をもつ四角形である。ここで は から成り立つので は残る。また は から成り立つので も残る。一方、 では となるため、この頂点は切り落とされる。
直線 と の交点を求める。 を代入すると だから である。
同様に、直線 と の交点は である。条件 により、これらの点はいずれも対応する辺の内部にある。
したがって領域は、頂点
をこの順にもつ五角形である。
(2)
は一次式なので、閉じた多角形領域では頂点で最大値をとる。 と では である。新しくできた2つの頂点での値は、それぞれ と である。これらはいずれも4以上であるため、最大値はこの2つのうち大きい方で決まる。
差を比べると、分母は正であり、
である。ここで 、 だから、この差は のとき0以上、 のとき0以下である。
よって求める最大値は
である。 のときは、どちらの式も となり一致する。
別解。 とおくと、直線 を右上へ平行移動して領域に最後に接する位置を考えてもよい。接点は五角形の上側の2辺上にあるため、結局、上で求めた2つの交点だけを比較すればよい。 では右側の交点、 では上側の交点が最後の接点になる。