問題
関数，を次のように定める．
ただし，，，は定数とする．
(1)
となるための，，の満たす条件を求めよ．
(2) (1)の条件のもとで，における2つの関数のグラフの共有点の個数を求めよ．
出典：北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
(1)は定積分を直接計算し、条件をa,b,cの一次関係として整理する。(2)は共有点を調べるために差 を作る。積分条件を代入するとb,cが消え、 の符号だけで区間 内の零点数を分類できる。端点が共有点になる場合も個数に含める。
解答
(1)
それぞれの定積分を計算すると であり、 である。したがって条件は である。これを整理して を得る。
(2)
共有点の個数は の零点の個数で決まる。(1)の条件より
である。したがって
である。 は下に凸の2次関数であり、区間の中央で となる。このため、両端の値がともに0以上なら、区間 の中に零点が2個ある。端点の片方が0の場合も、その端点と内部の1点で合計2個である。条件 は と同値である。
一方、 のときは であり、右側で1回だけ0を通る。また、 のときは であり、左側で1回だけ0を通る。
よって、 における共有点の個数は
である。