北海道大学 2000年度
文系数学 前期 第4問

解答

(1)

$x=a$ における接線と曲線 $y=f(x)$ の交点を考える。接線は接点 $x=a$ で曲線と接するので、方程式 $f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$ は $x=a$ を重解にもつ。接点以外の交点の $x$ 座標を $b$ とすると、この3次方程式の根は $a,a,b$ である。

左辺を移項した3次式は最高次係数1で、$x^2$ の係数は $p$ である。したがって根の和は $-p$ なので $a+a+b=-p$ である。よって $b=-p-2a$ である。

(2)

$x=c$ における接線が点 $P(a,f(a))$ を通るとする。この接線と曲線の交点方程式では、$x=c$ が接点なので重解であり、さらに $x=a$ も解である。したがって3つの根は $c,c,a$ である。根の和より $2c+a=-p$ だから $c=-\frac{p+a}{2}$ である。

なお、問題の仮定より $x=a$ の接線は接点以外の点 $Q$ でも曲線と交わるので、(1)の $b$ は $a$ と異なる。これは $-p-2a\ne a$、すなわち $p+3a\ne 0$ を意味する。したがって上で得た $c$ も $a$ とは異なる。

(3)

$f^{\prime }(x)=3x^2+2px+q$ である。まず $f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)=3(b^2-a^2)+2p(b-a)$ $=(b-a)\{3(a+b)+2p\}$ である。$b=-p-2a$ を代入すると $b-a=-p-3a$ であり、$3(a+b)+2p=3(-p-a)+2p=-p-3a$ である。したがって $f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)=(p+3a{)}^2$ である。

次に $c=-(p+a)/2$ より $a-c=\frac{p+3a}{2}$ であり、$3(a+c)+2p=3\left(a-\frac{p+a}{2}\right)+2p=\frac{p+3a}{2}$ である。したがって $f^{\prime }(a)-f^{\prime }(c)=(a-c)\{3(a+c)+2p\}=\frac{(p+3a{)}^2}{4}$ である。

よって $\frac{f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)}{f^{\prime }(a)-f^{\prime }(c)}=\frac{(p+3a{)}^2}{(p+3a{)}^2/4}=4$ である。

別解。(3)は、3次関数の接線交点の対応が $a\mapsto b=-p-2a$、$a\mapsto c=-(p+a)/2$ という一次変換で表されることを利用してもよい。導関数は2次式なので、差はそれぞれ $p+3a$ の2乗に比例し、比例係数の比だけを見れば4になる。