北海道大学 2000年度
文系数学 前期 第3問

解答

(1)

60度の回転を表す複素数を $\zeta =\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ とおく。原点のまわりに60度回転することは、複素数に $\zeta$ を掛けることに対応する。

したがって $A^{\prime }=\zeta =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。また $\omega =\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }$ だから $B^{\prime }=\zeta \omega =\cos 180^{\circ }+i\sin 180^{\circ }=-1$ であり、

である。

(2)

座標で確認する。点を

と見る。また

である。

辺 $AB$ 上の点を $A+t(B-A)(0\leqq t\leqq 1)$ とおく。この点の座標は $\left(1-\frac{3}{2}t,\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)$ である。

まず辺 $C^{\prime }{A}^{\prime }$ は直線 $x=1/2$ である。これと $AB$ の交点では $1-\frac{3}{2}t=\frac{1}{2}$ だから $t=\frac{1}{3}$ である。したがってこの交点は辺 $AB$ を $1:2$ に分ける。

次に辺 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ と $AB$ の交点を求める。辺 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ の方程式は、2点 $A^{\prime }(1/2,\sqrt{3}/2)$、$B^{\prime }(-1,0)$ を通るので $y=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+1)$ である。$AB$ 上の点を代入すると $\frac{\sqrt{3}}{2}t=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(2-\frac{3}{2}t\right)$ である。両辺に $2\sqrt{3}$ を掛けて $3t=4-3t$ となり、$t=\frac{2}{3}$ を得る。

よって辺 $AB$ は、三角形 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ の2辺との交点によって3等分される。図形全体は原点を中心とする120度回転で保たれるので、辺 $BC$、$CA$ についても同じことが成り立つ。また2つの三角形の役割を入れ替えても同じ対称性があるため、三角形 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ の各辺も三角形 $ABC$ の辺との交点によって3等分される。

別解。三等分は、正三角形の辺上のアフィン比で見ることもできる。1辺上の交点比が $1/3,2/3$ であることを1つの辺で示せば、原点中心の120度回転が2つの三角形と交点配置を保つため、残りの5辺の結果はすべて回転で移る。