北海道大学 2000年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

1から4までの番号を1つずつ書いた4枚のカードがある．この中から1枚を抜き取り，番号を記録してもとに戻す．これを $n$ 回繰り返したとき，記録された $n$ 個の数の積が3の倍数である確率を $a_{n}$ ，4の倍数である確率を $b_{n}$ とおく．

(1) $a_{n}$ と $b_{n}$ を求めよ．

(2) $n ≧ 2$ のとき， $b_{n} > a_{n}$ を数学的帰納法を用いて証明せよ．

出典：北海道大学 2000年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

$a_{n}$ は「3が一度も出ない」余事象で求める。 $b_{n}$ は積が4の倍数でない場合、つまり因数2の個数が0個または1個だけの場合を数える。比較では得た式を整理して $2 (3/2)^{n} > n + 2$ に変形し、問題の指定どおり数学的帰納法で示す。帰納段階では両辺を $3/2$ 倍したとき、 $(3/2) (n + 2) > n + 3$ となることを使う。

解答

(1)

積が3の倍数でないのは、 $n$ 回の記録の中に3が一度も出ない場合である。1回で3以外が出る確率は $3/4$ なので $P (e x t 3 が一度も出ない) = (\frac{3}{4})^{n}$ である。したがって $a_{n} = 1 - (\frac{3}{4})^{n}$ である。

次に $b_{n}$ を求める。積が4の倍数でないのは、積に含まれる因数2の個数が0個または1個の場合である。カード1と3は因数2を含まず、カード2は因数2を1個、カード4は因数2を2個含む。

因数2が0個の場合は、毎回1または3が出る場合であり、確率は $(\frac{1}{2})^{n}$ である。因数2が1個の場合は、ちょうど1回だけ2が出て、残りは1または3が出る場合である。したがって確率は

_{n} C_{1} \cdot \frac{1}{4} (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{n}{2 ^{n + 1}}

である。

よって積が4の倍数でない確率は $\frac{1}{2 ^{n}} + \frac{n}{2 ^{n + 1}} = \frac{n + 2}{2 ^{n + 1}}$ である。したがって $b_{n} = 1 - \frac{n + 2}{2 ^{n + 1}}$ である。

(2)

(1)の結果より、 $b_{n} > a_{n}$ は $1 - \frac{n + 2}{2 ^{n + 1}} > 1 - (\frac{3}{4})^{n}$ と同値である。整理すると $(\frac{3}{4})^{n} > \frac{n + 2}{2 ^{n + 1}}$ であり、両辺に $2^{n + 1}$ を掛けると $2 (\frac{3}{2})^{n} > n + 2$ となる。

この不等式を $n ≧ 2$ で帰納法により示す。 $n = 2$ では $2 (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{2} > 4$ であり、成り立つ。

ある $n ≧ 2$ で $2 (\frac{3}{2})^{n} > n + 2$ が成り立つと仮定する。このとき

2 (\frac{3}{2})^{n + 1} = \frac{3}{2} \cdot 2 (\frac{3}{2})^{n} > \frac{3}{2} (n + 2)

である。さらに $\frac{3}{2} (n + 2) - (n + 3) = \frac{n}{2} > 0$ だから $2 (\frac{3}{2})^{n + 1} > n + 3$ である。よって帰納法により、すべての $n ≧ 2$ で $b_{n} > a_{n}$ が成り立つ。

別解。比較だけなら、 $b_{n} - a_{n} = (3/4)^{n} - (n + 2) / 2^{n + 1}$ と直接差を見てもよい。分母をそろえると $b_{n} - a_{n} = (2 \cdot 3^{n} - 2^{n} (n + 2)) / 2^{2 n + 1}$ となり、分子の正値性は上の帰納法と同じ不等式で示される。

北海道大学 2000年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2000年度
文系数学前期第2問