問題
次の命題の真偽を述べ，その理由を説明せよ．ただし，，，，が無理数であることを用いてもよい．
(1) は無理数である．
(2) が実数であるとき，が有理数ならば，は有理数である．
(3) ，がともに無理数ならば，，のうち少なくとも一方は無理数である．
出典：北海道大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
各命題について、真なら背理法で有理数と仮定して既知の無理数性に矛盾させ、偽なら条件を満たす具体例を1つ示す。特に(2)は2次方程式 の無理数解、(3)は和と二乗和がどちらも有理数になる対称な無理数の組を探すとよい。真偽だけでなく、反例が本当に前提を満たしていることまで確認する。
解答
(1)
この命題は真である。
背理法で示す。 が有理数であると仮定し、これを とおく。すると である。 が有理数なら も有理数であるから、 も有理数となる。したがって が有理数となるが、これは問題文で用いてよいとされている の無理数性に反する。よって は無理数である。
(2)
この命題は偽である。
反例として をとる。この は、もし有理数なら も有理数になってしまうので、無理数である。一方で が成り立つ。実際、 は方程式 の解である。したがって、 が有理数であっても が有理数とは限らない。
(3)
この命題は偽である。
反例として をとる。、 はともに無理数である。しかし であり、これは有理数である。また も有理数である。したがって、、 のうち少なくとも一方が無理数であるとはいえない。