問題
とする．曲線との第1象限内での交点をとし，から軸に下ろした垂線の足をとする．また，原点をとし，線分と線分と曲線とで囲まれた図形の面積をとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 点の座標を求めよ．
(2) 面積を，を用いて表せ．
(3) 面積を最大にするの値を求めよ．
出典：北海道大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
交点 は2つの放物線の方程式を連立して求める。第1象限の交点なので を使い、 を選ぶことに注意する。面積 は における下側の放物線 の下の面積であり、積分して の3次式に直す。最後は の開区間での最大化なので、導関数の符号変化と端での値の様子を確認する。
解答
(1)
交点 では が成り立つ。右辺を移項すると であるから となる。 は第1象限内の交点であり、 なので である。したがって、 から 軸に下ろした垂線の足は である。
(2)
より である。求める図形は、、、 軸、放物線 で囲まれる部分である。よって
したがって である。
(3)
とおくと である。 において、 となるのは である。また であるから、この値で は最大となる。よって、面積 を最大にする値は である。