北海道大学 1999年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

面積1の三角形 $A B C$ の各辺の長さをそれぞれ $A B = 2$ ， $B C = a$ ， $C A = b$ とする．さらに， $C$ から直線 $A B$ へ下ろした垂線の足 $D$ が線分 $A B$ 上にあるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1) $A D = x$ とするとき， $a^{2} + (23 - 1) b^{2}$ を， $x$ を用いて表せ．

(2) $a^{2} + (23 - 1) b^{2}$ を最小にする $x$ を求めよ．また，そのときの $∠ B A C$ の大きさを求めよ．

出典：北海道大学 1999年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

底辺を座標軸上に置き、垂線の足を使って辺の長さを二乗で表す。面積が1、底辺が2なので高さは1で固定され、未知量は実質的に $A D = x$ だけになる。条件より $0 ≦ x ≦ 2$ であることを確認したうえで、求める式を $x$ の2次式に直し、平方完成で最小値を与える $x$ を求める。角度は、最小時の直角三角形 $A C D$ で $tan ∠ B A C = C D / A D$ を計算すればよい。

解答

(1)

三角形の面積は $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C D = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot C D = C D$ であるから、面積が1であることより $C D = 1$ である。垂線の足 $D$ は線分 $A B$ 上にあるので、 $A D = x$ とおくと $B D = 2 - x, 0 ≦ x ≦ 2$ である。

直角三角形 $A C D$ 、 $B C D$ に三平方の定理を用いると $b^{2} = A C^{2} = x^{2} + 1,$ $a^{2} = B C^{2} = (2 - x)^{2} + 1 = x^{2} - 4 x + 5$ である。したがって

a^{2} + (23 - 1) b^{2} = (x^{2} - 4 x + 5) + (23 - 1) (x^{2} + 1) = 23 x^{2} - 4 x + 4 + 23 .

よって、求める式は $23 x^{2} - 4 x + 4 + 23$ である。

(2)

(1)の2次式を平方完成すると

23 x^{2} - 4 x + 4 + 23 = 23 (x^{2} - \frac{2}{3} x) + 4 + 23 = 23 (x - \frac{1}{3})^{2} + 4 + \frac{4 3}{3} .

ここで $0 ≦ \frac{1}{3} ≦ 2$ であるから、条件 $0 ≦ x ≦ 2$ の範囲内で最小を与える。したがって、最小にする値は $x = \frac{1}{3}$ である。

このとき直角三角形 $A C D$ において $tan ∠ B A C = \frac{C D}{A D} = \frac{1}{1/ 3} = 3$ である。 $D$ が線分 $A B$ 上にあるので $∠ B A C$ は鋭角または直角であり、 $tan θ = 3$ を満たす該当角は $∠ B A C = 6 0^{\circ}$ である。

別解。 $θ = ∠ B A C$ とおく。面積条件から $1 = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C sin θ = A C sin θ$ なので、 $A C = 1/ sin θ$ である。余弦定理より

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C cos θ = 4 + \frac{1}{sin ^{2} θ} - 4 cot θ .

よって $B C^{2} + (23 - 1) A C^{2} = 4 + 23 \frac{1}{s i n ^{2} θ} - 4 cot θ .$ ここで $u = cot θ$ とおくと $1/ sin^{2} θ = 1 + u^{2}$ であるから

4 + 23 (1 + u^{2}) - 4 u = 23 (u - \frac{1}{3})^{2} + 4 + \frac{4 3}{3} .

したがって $u = 1/ 3$ 、すなわち $cot θ = 1/ 3$ のとき最小で、 $θ = 6 0^{\circ}$ である。

北海道大学 1999年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1999年度
文系数学前期第1問