問題
の2つの関数
について，次の問に答えよ．
(1) 2曲線，のにおける接線が平行となるの値を求めよ．ただし，とする．
(2) (1)で定まる2組の接線が囲む図形の面積ををを用いて表せ．
(3) がの範囲を動くとき，の最大値およびが最大となるの値を求めよ．
方針
まず から接線が平行になる を求める。 では2本の水平線、 では同じ傾きの2本の斜線が得られるので、4本の直線が平行四辺形を作る。面積は、水平線の間の縦の距離と、同じ高さで見た斜線2本の横の距離の積として求める。最後は を、符号が変わる と増減が変わる に注意して最大化する。
解答
(1)
微分すると である。 における接線が平行であるための条件は、傾きが等しいこと、すなわち である。よって となる。 であるから、求める値は である。
(2)
まず の接線を求める。このとき傾きは0であり、 だから、2本の接線は である。これらは水平線であり、間の縦の距離は である。
次に の接線を考える。傾きはいずれも である。2本の接線は平行であり、同じ における縦の差は一定で、 に等しい。ここで なので
したがって、斜線2本を同じ高さで切ったときの横の距離は である。なぜなら、傾きの絶対値が なので、縦の差を傾きの絶対値で割れば横の差になるからである。
よって4本の接線が囲む平行四辺形の面積 は である。すなわち である。
(3)
で を最大化する。 なので、符号は によって決まる。方程式 の正の根は である。
まず では だから である。 とおくと である。したがって は で減少し、 で増加する。よって は で最大となり、 である。
次に では である。この範囲では なので 、したがって は増加する。最大は で、 である。
以上より、 の最大値は であり、そのときの は である。