北海道大学 1987年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

2次方程式 $x^{2} + x - 1 = 0$ の2つの解を $α$ ， $β$ とおく．

(1) $α^{n} + β^{n} = α^{n + 1} + β^{n + 1} + α^{n + 2} + β^{n + 2}$ が成り立つことを示せ．ただし， $n$ は自然数とする．

(2) $t_{n} = \frac{α ^{n} - β ^{n}}{5}$ ， $s_{n} = t_{n}^{2} - t_{n} t_{n + 1} - t_{n + 1}^{2}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ とおく． $s_{n}$ を $n$ を用いて表し， $k = 1 \sum n (2 k - 1) s_{k}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1987年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

方程式 $x^{2} + x - 1 = 0$ の解は、各解について $x^{2} = 1 - x$ 、つまり $1 = x + x^{2}$ を満たす。(1)はこれを $α^{n}$ 、 $β^{n}$ に掛けて加える。(2)では $t_{n}$ が同じ2項漸化式 $t_{n + 2} = t_{n} - t_{n + 1}$ を満たすことを使い、 $s_{n + 1} = - s_{n}$ を直接計算で示す。最後の和は奇数の交代和なので、偶数個・奇数個をまとめて計算する。

解答

(1)

$α$ 、 $β$ はともに方程式 $x^{2} + x - 1 = 0$ の解である。したがって $α^{2} + α - 1 = 0, β^{2} + β - 1 = 0$ であり、 $1 = α + α^{2}, 1 = β + β^{2}$ が成り立つ。

第1式に $α^{n}$ 、第2式に $β^{n}$ を掛けると

α^{n} = α^{n + 1} + α^{n + 2}, β^{n} = β^{n + 1} + β^{n + 2}

である。これらを加えて

α^{n} + β^{n} = α^{n + 1} + β^{n + 1} + α^{n + 2} + β^{n + 2}

を得る。

(2)

各解は $x^{2} = 1 - x$ を満たすので、 $n ≧ 1$ に対して

α^{n + 2} = α^{n} - α^{n + 1}, β^{n + 2} = β^{n} - β^{n + 1}

である。よって $t_{n + 2} = t_{n} - t_{n + 1}$ が成り立つ。また、 $α - β = 5$ 、 $α + β = - 1$ だから $t_{1} = \frac{α - β}{5} = 1,$

t_{2} = \frac{α ^{2} - β ^{2}}{5} = \frac{( α - β ) ( α + β )}{5} = - 1

である。

ここで $s_{n} = t_{n}^{2} - t_{n} t_{n + 1} - t_{n + 1}^{2}$ とおく。 $t_{n + 2} = t_{n} - t_{n + 1}$ を用いると

s_{n + 1} = t_{n + 1}^{2} - t_{n + 1} t_{n + 2} - t_{n + 2}^{2} = t_{n + 1}^{2} - t_{n + 1} (t_{n} - t_{n + 1}) - (t_{n} - t_{n + 1})^{2} = - t_{n}^{2} + t_{n} t_{n + 1} + t_{n + 1}^{2} = - s_{n} .

さらに $s_{1} = t_{1}^{2} - t_{1} t_{2} - t_{2}^{2} = 1 - (- 1) - 1 = 1$ である。したがって $s_{n} = (- 1)^{n + 1}$ である。

よって $\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) s_{k} = 1 - 3 + 5 - 7 + \dots + (2 n - 1) (- 1)^{n + 1}$ となる。偶数番目までを組にすると $(1 - 3) + (5 - 7) + \dots + ((4 j - 3) - (4 j - 1)) = - 2 j$ である。したがって、 $n = 2 j$ のとき和は $- 2 j = - n$ 、 $n = 2 j - 1$ のとき和は直前の $- 2 (j - 1)$ に $4 j - 3$ を加えて $2 j - 1 = n$ である。まとめて $\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) s_{k} = (- 1)^{n + 1} n$ である。

北海道大学 1987年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1987年度
文系数学前期第3問