問題
の2次関数のにおける最小値をとする．のとき，の最大値を求めよ．
出典：北海道大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
二次関数を平方完成して、制限範囲 に頂点 が入るかどうかで最小値を分ける。どちらの場合も、条件 は と読めるので、固定した に対して を最大にするには をこの上限に取ればよい。あとは と の2つの範囲で上限を比較し、実際に等号を実現する も確認する。
解答
二次関数を平方完成すると である。頂点は である。
【場合1： のとき】頂点 は範囲 に含まれるので、最小値は である。一方、条件 は と同値である。したがって である。右辺を平方完成すると であるから、 の範囲での最大値は である。この値は 、 のとき実現する。
【場合2： のとき】頂点は範囲 の右側にある。この範囲では関数は に向かって減少するので、最小値は である。条件より である。 だから であり、この場合の は より小さい。これは場合1で得た より小さい。
以上より、 の最大値は である。