問題
自然数に対して，方程式の表す曲線を，原点からに引いた接線の接点をとする．ただし，は自然対数．
(1) は，に関係のない定直線上に等間隔で並んでいることを示し，その定直線と間隔を求めよ．
(2) 線分，曲線および軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
出典：北海道大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
接点を とおくと、接線の傾きは である。原点を通る条件を接線方程式に代入すると が出るので、 と分かる。面積は、直線 の下の三角形から、 から までの曲線下の面積を引く。積分では と置いて を丁寧に評価する。
解答
(1)
曲線 は であり、定義域は である。 上の点 を接点とする。この点における接線の傾きは より である。したがって接線の方程式は である。
この接線が原点 を通るので である。したがって となり、 である。よって である。
したがってすべての は定直線 上にある。また であるから、隣り合う点の間隔は である。
(2)
線分 は原点と を結ぶので、方程式は である。また が 軸と交わるのは より のときである。
求める部分は、 における線分 の下の三角形から、 における曲線 の下の部分を除いた面積である。したがって面積 は である。
第1項は
である。第2項は とおくと である。ここで である。したがって第2項は である。
よって であり、求める面積は である。