問題
球面と直線の方程式をそれぞれ，とする．
(1) の中心を通り，と交わり，その交角がとなる直線の方程式を求めよ．
(2) 直線に垂直な平面によるの切り口が，面積の円となるとき，その円の中心の座標を求めよ．
出典：北海道大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
は文系第4問と同じく、直線 上の点を で置き、原点からその点へ向かう直線と の方向ベクトル の交角条件を内積で解く。 は、 に垂直な平面の法線が と平行であることを使う。切り口の円の中心は球の中心からその平面へ下ろした垂線の足なので、原点から 方向にある。半径5の球を半径 の円で切るため、中心から平面までの距離を三平方で求める。
解答
(1)
球面 の中心は原点である。直線 は であるから、共通の値を とおくと、 上の点は と表される。また の方向ベクトルは である。
求める直線は原点と を結ぶ直線であるから、その方向ベクトルを とする。交角が である条件は である。
ここで であり、 である。したがって となり、整理して を得る。 のとき交点は 、 のとき交点は である。よって求める直線は および である。
(2)
直線 の方向ベクトルは である。 に垂直な平面は、このベクトルを法線ベクトルにもつ。球の中心は原点であり、切り口の円の中心は、原点からその平面へ下ろした垂線の足である。したがって円の中心は の形に表される。
球の半径は5である。切り口の面積が なので、切り口の円の半径は である。球の中心から平面までの距離を とすると、直角三角形から である。したがって である。
一方、点 の原点からの距離は である。これが に等しいから である。よって となり、円の中心は または である。