北海道大学 1986年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$g (x) = \frac{e ^{2 x} - 1}{e ^{2 x} + 1}$ ， $f (x) = \frac{g ( a ) + x}{1 + g ( a ) x}$ とする．ただし， $a$ は定数， $e$ は自然対数の底である．

(1) すべての実数 $t$ に対して， $f (g (t)) = g (t + a)$ を示せ．

(2) $x_{1} = g (a)$ ， $x_{n + 1} = f (x_{n})$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ により数列 ${x_{n}}$ を定める． $a > 0$ として， $n \to \infty lim x_{n}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1986年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

$g (x)$ を指数式のまま扱い、 $g (a)$ と $g (t)$ を $f$ に代入して分母分子を整理する。これは双曲線関数の加法公式と同じ形だが、答案では指数だけで直接示せばよい。漸化式は $x_{1} = g (a)$ と $f (g (t)) = g (t + a)$ から帰納的に $x_{n} = g (na)$ と表す。 $a > 0$ なら $e^{2 na}$ が限りなく大きくなるので極限は1になる。別解として、 $(1 + x_{n}) / (1 - x_{n}))$ を作ると毎回 $e^{2 a}$ 倍されることからも同じ結論を得られる。

解答

(1)

$g (t) = \frac{e ^{2 t} - 1}{e ^{2 t} + 1}, g (a) = \frac{e ^{2 a} - 1}{e ^{2 a} + 1}$ である。したがって $f (g (t)) = \frac{g ( a ) + g ( t )}{1 + g ( a ) g ( t )}$ である。

分子を通分すると

g (a) + g (t) = \frac{( e ^{2 a} - 1 ) ( e ^{2 t} + 1 ) + ( e ^{2 t} - 1 ) ( e ^{2 a} + 1 )}{( e ^{2 a} + 1 ) ( e ^{2 t} + 1 )}

であり、分子のさらに上側は $2 e^{2 a} e^{2 t} - 2 = 2 (e^{2 (a + t)} - 1)$ である。

一方、分母側は

1 + g (a) g (t) = \frac{( e ^{2 a} + 1 ) ( e ^{2 t} + 1 ) + ( e ^{2 a} - 1 ) ( e ^{2 t} - 1 )}{( e ^{2 a} + 1 ) ( e ^{2 t} + 1 )}

であり、分子のさらに上側は $2 e^{2 a} e^{2 t} + 2 = 2 (e^{2 (a + t)} + 1)$ である。よって $f (g (t)) = \frac{e ^{2 (a + t)} - 1}{e ^{2 (a + t)} + 1} = g (t + a)$ である。

(2)

$x_{1} = g (a)$ である。 $(1)$ より、もし $x_{n} = g (na)$ なら $x_{n + 1} = f (x_{n}) = f (g (na)) = g ((n + 1) a)$ である。したがって数学的帰納法により $x_{n} = g (na)$ がすべての正の整数 $n$ で成り立つ。 $a > 0$ であるから、 $n \to \infty$ のとき $e^{2 na} \to \infty$ である。したがって

n \to \infty lim x_{n} = n \to \infty lim \frac{e ^{2 na} - 1}{e ^{2 na} + 1} = 1

である。

別解。 $y_{n} = \frac{1 + x _{n}}{1 - x _{n}}$ とおく。 $x_{n} = g (u)$ なら $\frac{1 + x _{n}}{1 - x _{n}} = e^{2 u}$ である。 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ の式を用いて直接整理しても $y_{n + 1} = e^{2 a} y_{n}$ が得られる。さらに $x_{1} = g (a)$ より $y_{1} = e^{2 a}$ だから $y_{n} = e^{2 na}$ である。ゆえに $x_{n} = \frac{y _{n} - 1}{y _{n} + 1} = \frac{e ^{2 na} - 1}{e ^{2 na} + 1}$ となり、極限は1である。

北海道大学 1986年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1986年度
理系数学前期第3問