北海道大学 1985年度
理系数学 前期 第5問

解答

(1)

まず与えられた方程式に $x=0$ を代入する。積分区間は長さ0なので積分項は0であり，$f(0{)}^3+f(0)-2=0$ である。左辺は $f(0{)}^3+f(0)-2=(f(0)-1)(f(0{)}^2+f(0)+2)$ と因数分解できる。$f(0{)}^2+f(0)+2$ は判別式が $1-8<0$ で常に正なので $f(0)=1$ である。

次に，問題の方程式を $x$ で微分する。左辺の各項を微分すると $3f(x{)}^2{f}^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)-x{e}^{x}f(x{)}^2=0$ である。したがって $(3f(x{)}^2+1)f^{\prime }(x)=x{e}^{x}f(x{)}^2$ を得る。

ここで $f(0)=1$ であり，$f$ は微分可能だから連続である。また問題より常に $f(x)\ne 0$ なので，$f(x)$ は0をまたいで符号を変えることができない。したがって $f(x)>0$ がすべての $x$ で成り立つ。

よって $e^x>0$，$f(x{)}^2>0$，$3f(x{)}^2+1>0$ であるから，$f^{\prime }(x)$ の符号は $x$ の符号と一致する。すなわち

である。したがって $x=0$ で極小となり，その値は $1$ である。極大値は存在しない。

(2)

上で得た式 $(3f(x{)}^2+1)f^{\prime }(x)=x{e}^{x}f(x{)}^2$ を，$f(x{)}^2$ で割ると $\left(3+\frac{1}{f(x{)}^2}\right)f^{\prime }(x)=x{e}^x$ である。左辺は $\frac{d}{dx}\left(3f(x)-\frac{1}{f(x)}\right)$ であるから，両辺を積分して $3f(x)-\frac{1}{f(x)}=(x-1)e^x+C$ となる。 $x=0$，$f(0)=1$ を代入すると，左辺は $3\cdot 1-1=2$ であり，右辺は $-1+C$ である。したがって $C=3$ であり $3f(x)-\frac{1}{f(x)}=(x-1)e^x+3$ となる。

ここで $H=(x-1)e^x+3$ とおくと $3f(x)-\frac{1}{f(x)}=H$ である。$f(x)\ne 0$ なので両辺に $f(x)$ を掛けると $3f(x{)}^2-Hf(x)-1=0$ である。これを $f(x)$ について解けば $f(x)=\frac{H\pm \sqrt{H^2+12}}{6}$ となる。すでに $f(x)>0$ が分かっているので，正の値をとる $f(x)=\frac{H+\sqrt{H^2+12}}{6}$ を選ぶ。したがって $f(x)=\frac{(x-1)e^x+3+\sqrt{\{(x-1)e^x+3{\}}^2+12}}{6}$ である。