北海道大学 1985年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

数列 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n}, \dots\dots$ は $4 a_{n + 1}^{3} + 3 a_{n + 1} - a_{n} = 0$ $(n = 0, 1, 2, \dots\dots)$ を満たすとし， $S_{n} = k = 1 \sum n 3^{k - 1} a_{k}^{3}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ とおく．ただし， $a_{0} \neq = 0$ とする．

(1) すべての自然数 $n$ に対して， $S_{n} = - \frac{3 ^{n}}{4} a_{n} + \frac{1}{4} a_{0}$ が成り立つことを数学的帰納法で示せ．

(2) $f (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ （ $e$ は自然対数の底）とし，数列 $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots\dots, x_{n}, \dots\dots$ は $a_{n} = f (x_{n})$ を満たすとする． $x_{n}$ を $x_{0}$ で表せ．

(3) $n \to \infty lim S_{n}$ を $x_{0}$ で表せ．

出典：北海道大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

(1) は漸化式を $4 a_{k}^{3} = a_{k - 1} - 3 a_{k}$ と直し， $S_{n + 1} = S_{n} + 3^{n} a_{n + 1}^{3}$ に代入する帰納法で示す。(2) では $f (x) = (e^{x} - e^{- x}) /2$ が $f (3 x) = 4 f (x)^{3} + 3 f (x)$ を満たすことを計算で確認し， $f$ が単調増加であることから $x_{n} = 3 x_{n + 1}$ を得る。(3) は $a_{n} = f (x_{0} / 3^{n})$ を (1) の式に入れ， $u \to 0$ で $f (u) / u \to 1$ を使う。

解答

(1)

漸化式 $4 a_{n + 1}^{3} + 3 a_{n + 1} - a_{n} = 0$ より， $k ≧ 1$ について $4 a_{k}^{3} = a_{k - 1} - 3 a_{k}$ が成り立つ。

まず $n = 1$ のとき $S_{1} = a_{1}^{3}$ であり， $a_{1}^{3} = \frac{a _{0} - 3 a _{1}}{4} = - \frac{3}{4} a_{1} + \frac{1}{4} a_{0}$ なので，主張は成り立つ。

次に，ある自然数 $n$ で $S_{n} = - \frac{3 ^{n}}{4} a_{n} + \frac{1}{4} a_{0}$ が成り立つと仮定する。このとき $S_{n + 1} = S_{n} + 3^{n} a_{n + 1}^{3}$ であるから

S_{n + 1} = - \frac{3 ^{n}}{4} a_{n} + \frac{1}{4} a_{0} + 3^{n} \cdot \frac{a _{n} - 3 a _{n + 1}}{4} = - \frac{3 ^{n + 1}}{4} a_{n + 1} + \frac{1}{4} a_{0}

となる。したがって $n + 1$ でも成り立つ。よって数学的帰納法により $S_{n} = - \frac{3 ^{n}}{4} a_{n} + \frac{1}{4} a_{0}$ がすべての自然数 $n$ で成り立つ。

(2)

まず $f$ の三倍の関係を確認する。 $u = e^{x}$ とおくと $f (x) = \frac{u - u ^{- 1}}{2}$ である。計算すると $4 f (x)^{3} + 3 f (x) = \frac{u ^{3} - u ^{- 3}}{2} = f (3 x)$ である。

漸化式は $a_{n} = 4 a_{n + 1}^{3} + 3 a_{n + 1}$ と書ける。ここで $a_{n} = f (x_{n})$ ， $a_{n + 1} = f (x_{n + 1})$ だから $f (x_{n}) = f (3 x_{n + 1})$ である。また $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} > 0$ なので， $f$ は単調増加である。したがって $x_{n} = 3 x_{n + 1}$ である。これを繰り返して $x_{n} = \frac{x _{0}}{3 ^{n}}$ を得る。

(3)

(1) より $S_{n} = - \frac{3 ^{n}}{4} a_{n} + \frac{1}{4} a_{0}$ である。また (2) より $a_{n} = f (\frac{x _{0}}{3 ^{n}})$ である。したがって

3^{n} a_{n} = 3^{n} f (\frac{x _{0}}{3 ^{n}}) = x_{0} \cdot \frac{f ( x _{0} / 3 ^{n} )}{x _{0} / 3 ^{n}}

である。ここで $u \to 0$ のとき $\frac{f ( u )}{u} \to f^{'} (0) = 1$ であるから $lim_{n \to \infty} 3^{n} a_{n} = x_{0}$ となる。よって

n \to \infty lim S_{n} = - \frac{x _{0}}{4} + \frac{a _{0}}{4} = \frac{f ( x _{0} ) - x _{0}}{4}

である。したがって $n \to \infty lim S_{n} = \frac{f ( x _{0} ) - x _{0}}{4}$ である。

北海道大学 1985年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1985年度
理系数学前期第4問