問題
曲線をとする．
(1) 上の点と点との距離の最大値を求めよ．
(2) を軸の方向にだけ平行移動して得られる曲線の方程式を求めよ．
(3) と軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
出典：北海道大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
まず定義域 を確認し，点 からの距離の二乗を の関数として最大化する。距離そのものではなく二乗を扱うと微分が簡単になる。(2) は左へ2だけ平行移動するので，元の式の を に置き換える。(3) は と置くと となり，奇関数部分が消えて半円の面積に帰着する。
解答
(1)
曲線 が実数で定まるには が必要なので である。
曲線上の点を とすると，点 との距離の二乗を として である。ここで だから である。展開すると となり，微分して を得る。
区間 での候補は である。それぞれを調べると であり， での値は27より小さい。したがって最大は のときで である。よって距離の最大値は である。
(2)
曲線を 軸の方向に だけ平行移動する。新しい座標を とすると，もとの曲線上の対応する点は である。したがってもとの式の を に置き換えて となる。根号内を整理すると なので である。定義域は であり，曲線は の部分である。同値な形として と書いてもよい。
(3)
求める面積を とすると である。ここで とおくと， から まで動くとき， は から まで動く。また であるから である。右辺のうち は奇関数なので， での積分は0である。したがって である。これは半径2の半円の面積の2倍なので である。