北海道大学 1982年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

$t ≧ 0$ に対し，曲線 $y = x^{2} - t^{2}$ $(x ≧ 0)$ と $x$ 軸， $y$ 軸および直線 $x = 1$ で囲まれた部分の全面積を $S (t)$ とおく．

(1) $S (t)$ を求めよ．

(2) $t$ が変化するとき， $S (t)$ の最小値を求めよ．

出典：北海道大学 1982年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

囲まれた部分の全面積は、区間 $0 ≦ x ≦ 1$ における $∣ x^{2} - t^{2} ∣$ の積分で表せる。曲線と $x$ 軸の交点 $x = t$ が区間内にあるかどうかで、 $0 ≦ t ≦ 1$ と $t ≧ 1$ に分ける。 $S (t)$ を求めた後、前者では微分して候補 $t = 0, 1/2, 1$ を確認し、後者では単調性から最小値を調べて比較する。

解答

(1)

曲線は $y = x^{2} - t^{2}$ であり、 $x$ は $0 ≦ x ≦ 1$ の範囲で考えればよい。 $x$ 軸との上下を問わず全面積を求めるので $S (t) = \int_{0}^{1} ∣ x^{2} - t^{2} ∣ d x$ である。

まず $0 ≦ t ≦ 1$ のとき、 $x = t$ で符号が変わる。 $0 ≦ x ≦ t$ では $x^{2} - t^{2} ≦ 0$ 、 $t ≦ x ≦ 1$ では $x^{2} - t^{2} ≧ 0$ であるから $S (t) = \int_{0}^{t} (t^{2} - x^{2}) d x + \int_{t}^{1} (x^{2} - t^{2}) d x$ である。第1項は

\int_{0}^{t} (t^{2} - x^{2}) d x = [t^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{t} = \frac{2}{3} t^{3}

であり、第2項は

\int_{t}^{1} (x^{2} - t^{2}) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - t^{2} x]_{t}^{1} = \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{2}{3} t^{3}

である。よって $S (t) = \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{4}{3} t^{3} (0 ≦ t ≦ 1)$ となる。

次に $t ≧ 1$ のときは、 $0 ≦ x ≦ 1$ で常に $x^{2} - t^{2} ≦ 0$ である。したがって $S (t) = \int_{0}^{1} (t^{2} - x^{2}) d x = t^{2} - \frac{1}{3} (t ≧ 1)$ である。

以上より

S (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{4}{3} t^{3} t^{2} - \frac{1}{3} (0 ≦ t ≦ 1), (t ≧ 1)

である。

(2)

$0 ≦ t ≦ 1$ では $S^{'} (t) = - 2 t + 4 t^{2} = 2 t (2 t - 1)$ である。したがって、この区間での候補は $t = 0, \frac{1}{2}, 1$ である。それぞれ

S (0) = \frac{1}{3}, S (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4}, S (1) = \frac{2}{3}

であるから、 $0 ≦ t ≦ 1$ での最小値は $1/4$ である。

また $t ≧ 1$ では $S (t) = t^{2} - \frac{1}{3}$ であり、 $t ≧ 1$ で増加する。したがってこの範囲での最小値は $S (1) = \frac{2}{3}$ である。

両者を比較して、全体の最小値は $\frac{1}{4}$ である。この最小値は $t = 1/2$ のときにとる。

北海道大学 1982年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1982年度
文系数学前期第4問