問題
行列によって表される1次変換をとする．ただし，，，は実数とする．が次の条件（イ），（ロ）を同時に満たすとき，行列を求めよ．
（イ） 行列によって表される1次変換に対してが成り立つ．
（ロ） ベクトルとベクトルのなす角がで，とを2辺とする平行4辺形の面積はである．
出典：北海道大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
条件（イ）は を成分比較し、 の形を に絞る。条件（ロ）では が第1列 であることを使う。 との角が なので第1成分は正であり、面積条件から第2成分の絶対値が決まる。最後に の符号が2通り残ることを確認する。
解答
{条件（イ）に出てくる行列を
とおく。条件（イ）は である。両辺を成分で計算すると
であり、
である。したがって成分比較より などを得る。これらから である。よって
と書ける。
次に条件（ロ）を用いる。 であるから
である。 と のなす角が なので、 の第1成分は正であり である。また、 と を2辺とする平行四辺形の面積は
である。これが だから である。
さらに、角が であることから である。したがって となる。上で求めた を代入して を得る。 の符号は2通りあるので、求める行列は
である。}