問題
(1) を満たす点の存在する範囲を平面に図示せよ．
(2) ，とおく．点が(1)の範囲を動くとき，点の動く範囲を求め，これを平面に図示せよ．
出典：北海道大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
(1) は絶対値の和が一定以下である領域として、4本の直線で囲まれるひし形を描く。(2) はまず , から を作り、実数 が存在する条件を確認する。そのうえで を で表して、 と に分ける。別解として を導入すると、条件が に整理され、上下2本の放物線が自然に出る。
解答
(1)
条件 は、各象限で絶対値を外すと直線で表される。例えば第1象限では 、第2象限では である。同様に4象限を合わせると、境界は である。したがって、点 の範囲は を頂点とするひし形の内部および周である。
(2)
, とおく。まず、与えられた に対して実数 が存在する条件を調べる。 であるから、必要条件として すなわち が必要である。逆にこの条件が成り立てば、 を として により実数 が作れる。したがってこれは存在条件でもある。
次に、元の領域条件を で書く。 であり、 だから である。よって が必要十分条件となる。 のときは であるから である。このとき右辺が非負でなければならないので も含まれる。 のときは なので であり、存在条件 と合わせて である。
以上を合わせると、点 の動く範囲は
である。図示すると、 から までの間で、下側の放物線 と上側の放物線 に挟まれた部分であり、境界を含む。
別解。 とおくと である。すると であるが、実数 について が成り立つので、条件は すなわち となる。また である。固定した に対して は の範囲を動くから となり、同じ結果を得る。