問題
がで連続な関数であるとき，となる実数に対して とする．
(1) を求めよ．
(2) どんな に対してもはによらない定数になるものとし，この定数をで表す．さらにであるとき，およびを求めよ．
出典：北海道大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
(1) は積分の上端 と下端 がともに に依存しているので、上端からの寄与 と下端からの寄与 を分ける。(2) は が定数であることから を用い、 を得る。ここで とすれば が出るため、任意の を変数名として と決まる。最後に直接積分して を求め、条件を満たすことも確認する。
解答
(1)
である。上端 を微分した寄与は であり、下端 を微分した寄与は符号が反対になって である。したがって である。
(2)
どんな に対しても が によらない定数になるので、(1) より である。すなわち が、 で成り立つ。
ここで とおく。条件 より である。したがって を得る。 は の任意の実数であるから、変数名を と書き換えて である。
このとき
である。、 なので であり、対数は正しく定義される。整理して である。これは確かに によらない定数である。よって である。特に のときは積分区間が同じ点になり、 で、上の式 と一致する。