北海道大学 1981年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

まず、すべての自然数 $n$ について $(n+1)(n+2)\leqq 2^{n+2}$ が成り立つことを示す。$n=1$ のとき $(1+1)(1+2)=6\leqq 8=2^3$ で成り立つ。ある自然数 $n$ で成り立つと仮定する。$n\geqq 1$ では $n+3\leqq 2n+2=2(n+1)$ だから $(n+2)(n+3)\leqq 2(n+1)(n+2)\leqq 2\cdot 2^{n+2}=2^{n+3}$ である。よって数学的帰納法により、主張はすべての自然数 $n$ で成り立つ。

この不等式から $n(n+1)<(n+1)(n+2)\leqq 2^{n+2}$ である。したがって $\frac{1}{2^{n+2}}\leqq \frac{1}{n(n+1)}$ となるので、線分 $A_n$ は $\left[\frac{1}{2^{n+2}},\frac{1}{n(n+1)}\right]$ と書ける。同様に $A_{n+1}=\left[\frac{1}{2^{n+3}},\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$ である。

ここで $\frac{1}{2^{n+3}}<\frac{1}{2^{n+2}}$ であり、また先に示した不等式より $\frac{1}{2^{n+2}}\leqq \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ である。したがって $A_n$ と $A_{n+1}$ は少なくとも $\left[\frac{1}{2^{n+2}},\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$ を共通部分としてもつ。ゆえに、どんな $n$ に対しても $A_n$ と $A_{n+1}$ は交わる。

(2)

(1) の端点の大小関係から、共通部分は $A_n\cap A_{n+1}=\left[\frac{1}{2^{n+2}},\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$ である。したがって、その長さは $d_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{2^{n+2}}$ である。

よって

である。第1の和は $\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$ と分解できるので ${\sum }_{n=1}^N\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{N+2}$ である。したがって ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}$ である。

また第2の和は

であり、初項 $1/8$、公比 $1/2$ の等比級数だから ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n+2}}=\frac{1/8}{1-1/2}=\frac{1}{4}$ である。ゆえに

である。