北海道大学 1981年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

(1) 2曲線 $y = x$ ， $y = \frac{e}{2} lo g x$ が1点 $(e^{2}, e)$ のみを共有することを証明せよ．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(2) (1)の2曲線と $x$ 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

出典：北海道大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

(1) は $x > 0$ として $t = x$ と置き、交点条件を $t = e lo g t$ に直す。 $ϕ (t) = t - e lo g t$ の増減を調べると、 $t = e$ で最小値0をとるため、解がただ1つであることがわかる。(2) は $x$ 軸との交点が $x = 0$ と $x = 1$ であることを確認し、 $0 ≦ x ≦ 1$ では上が $x$ 、 $1 ≦ x ≦ e^{2}$ では上が $x$ 、下が $(e /2) lo g x$ になるように面積を分けて積分する。

解答

(1)

対数があるので $x > 0$ で考える。 $t = x$ とおくと $t > 0$ であり、 $x = t^{2}$ である。交点では $t = \frac{e}{2} lo g (t^{2})$ が成り立つ。 $t > 0$ なので $lo g (t^{2}) = 2 lo g t$ であり、交点条件は $t = e lo g t$ となる。

そこで $ϕ (t) = t - e lo g t (t > 0)$ とおく。微分すると $ϕ^{'} (t) = 1 - \frac{e}{t} = \frac{t - e}{t}$ である。したがって $0 < t < e$ では $ϕ^{'} (t) < 0$ 、 $t > e$ では $ϕ^{'} (t) > 0$ である。よって $ϕ (t)$ は $t = e$ で最小値をとる。

さらに $ϕ (e) = e - e lo g e = 0$ である。したがって $ϕ (t) ≧ 0$ で、等号は $t = e$ のときだけ成り立つ。よって $t = e$ 、すなわち $x = e^{2}$ のときだけ2曲線は交わる。このとき $y = e^{2} = e$ であるから、共有点は $(e^{2}, e)$ ただ1つである。

(2)

曲線 $y = x$ は $x = 0$ で $x$ 軸と交わる。また $\frac{e}{2} lo g x = 0$ となるのは $x = 1$ のときである。(1) より、2曲線は $x = e^{2}$ でだけ交わる。したがって、求める面積 $S$ は

S = \int_{0}^{1} x d x + \int_{1}^{e^{2}} (x - \frac{e}{2} lo g x) d x

である。これは $S = \int_{0}^{e^{2}} x d x - \frac{e}{2} \int_{1}^{e^{2}} lo g x d x$ と整理できる。

まず

\int_{0}^{e^{2}} x d x = [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{e^{2}} = \frac{2}{3} e^{3}

である。次に、部分積分により $\int_{1}^{e^{2}} lo g x d x = [x lo g x - x]_{1}^{e^{2}}$ である。上端では $e^{2} lo g (e^{2}) - e^{2} = 2 e^{2} - e^{2} = e^{2}$ であり、下端では $1 \cdot lo g 1 - 1 = - 1$ であるから $\int_{1}^{e^{2}} lo g x d x = e^{2} + 1$ となる。

したがって

S = \frac{2}{3} e^{3} - \frac{e}{2} (e^{2} + 1) = \frac{4 e ^{3} - 3 e ^{3} - 3 e}{6} = \frac{e ^{3} - 3 e}{6}

である。

別解。(1) は $u = t / e$ とおいてもよい。交点条件 $t = e lo g t$ は $u = 1 + lo g u$ となる。 $u - 1 - lo g u$ は $u = 1$ で最小値0をとるので、やはり $u = 1$ 、すなわち $t = e$ だけが解である。

北海道大学 1981年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1981年度
理系数学前期第1問