一橋大学 2023年度文系数学第3問解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標空間内に $3$ 点 $A$ $(- 3, 2, 0) ，$ $B$ $(1, 5, 0) ，$ $C$ $(4, 5, 1)$ がある． $P$ は $P A + 3 P B + 2 P C ≦ 36$ を満たす点である． $4$ 点 $O ，$ $A ，$ $B ，$ $P$ が同一平面上にないとき，四面体 $O A B P$ の体積の最大値を求めよ．

出典：一橋大学 2023年度前期文系第3問

方針

条件式を $P$ を中心とする球の条件に直す。 $P A + 3 P B + 2 P C$ は $A + 3 B + 2 C - 6 P$ であるから，中心と半径が分かる。四面体 $O A B P$ は底面 $O A B$ が $x y$ 平面上にあるので，高さ $∣ z ∣$ を最大にする。

解答

点 $P$ の位置ベクトルを $p$ とする。 $A, B, C$ の位置ベクトルをそれぞれ $a, b, c$ とすれば

P A + 3 P B + 2 P C = (a - p) + 3 (b - p) + 2 (c - p) = a + 3 b + 2 c - 6 p

である。ここで

a + 3 b + 2 c = (- 3, 2, 0) + 3 (1, 5, 0) + 2 (4, 5, 1) = (8, 27, 2)

だから，条件は

6 ((\frac{4}{3}, \frac{9}{2}, \frac{1}{3}) - P) ≦ 36

すなわち， $P$ が中心 $G (4/3, 9/2, 1/3)$ ，半径 $6$ の球の内部または表面にあることを表す。

点 $O, A, B$ はすべて $x y$ 平面上にある。 $O A = (- 3, 2, 0)$ ， $O B = (1, 5, 0)$ より

∣ O A \times O B ∣ = ∣ (- 3) \cdot 5 - 2 \cdot 1∣ = 17

である。したがって四面体 $O A B P$ の体積は， $P$ の $z$ 座標を $z$ として

V = \frac{1}{6} \cdot 17∣ z ∣ = \frac{17}{6} ∣ z ∣

である。

球の中心の $z$ 座標は $1/3$ ，半径は $6$ であるから， $∣ z ∣$ の最大値は

\frac{1}{3} + 6 = \frac{19}{3}

である。この値は球面上の点 $(4/3, 9/2, 19/3)$ で実現し，この点は $x y$ 平面上にない。よって体積の最大値は

\frac{17}{6} \cdot \frac{19}{3} = \frac{323}{18}

である。

一橋大学 2023年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

一橋大学 2023年度
文系数学第3問