一橋大学 2023年度文系数学第1問解答・解説

問題

$n$ を $2$ 以上 $20$ 以下の整数， $k$ を $1$ 以上 $n - 1$ 以下の整数とする．

_{n + 2} C_{k + 1} = 2 (_{n} C_{k - 1} +_{n} C_{k + 1})

が成り立つような整数の組 $(n, k)$ を求めよ．

出典：一橋大学 2023年度前期文系第1問

方針

両辺を $_{n} C_{k}$ で割り，組合せの比を $n, k$ の式に直す。整理すると $(2 k - n)^{2} = n + 2$ となるので， $2 ≦ n ≦ 20$ から $n + 2$ が取り得る平方数だけを調べる。

解答

$_{n} C_{k}$ は正である。組合せの比を用いると

_{n + 2} C_{k + 1} = \frac{( n + 2 ) ( n + 1 )}{( k + 1 ) ( n - k + 1 )}_{n} C_{k},

また

_{n} C_{k - 1} = \frac{k}{n - k + 1}_{n} C_{k},_{n} C_{k + 1} = \frac{n - k}{k + 1}_{n} C_{k}

である。与えられた等式を $_{n} C_{k}$ で割り，さらに $(k + 1) (n - k + 1)$ を掛けると

(n + 2) (n + 1) = 2 {k (k + 1) + (n - k) (n - k + 1)}

となる。整理して

(2 k - n)^{2} = n + 2

を得る。

$2 ≦ n ≦ 20$ だから $4 ≦ n + 2 ≦ 22$ であり， $n + 2$ が平方数となる可能性は

n + 2 = 4, 9, 16

だけである。すなわち $n = 2, 7, 14$ である。

$n = 2$ のとき $∣2 k - n ∣ = 2$ より $k = 0, 2$ となり，範囲 $1 ≦ k ≦ n - 1$ を満たさない。 $n = 7$ のとき $∣2 k - 7∣ = 3$ より $k = 2, 5$ である。 $n = 14$ のとき $∣2 k - 14∣ = 4$ より $k = 5, 9$ である。

したがって求める組は

(n, k) = (7, 2), (7, 5), (14, 5), (14, 9)

である。

一橋大学 2023年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

一橋大学 2023年度
文系数学第1問