一橋大学 2023年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とする． $2$ つの曲線 $C_{1} ： y = x^{3} + 2 a x^{2}$ および $C_{2} ： y = 3 a x^{2} - \frac{3}{a}$ の両方に接する直線が存在するような $a$ の範囲を求めよ．

出典：一橋大学 2023年度前期文系第2問

方針

$C_{1}$ の接点を $(t, t^{3} + 2 a t^{2})$ として接線を作る。その直線が $C_{2}$ にも接する条件を， $C_{2}$ との交点方程式の判別式が0である条件に直す。 $u = t^{2} > 0$ と置くと $9 u^{2} - 8 a^{2} u + 36 = 0$ となり，正の解の存在条件から $a$ の範囲を決める。

解答

$C_{1} : y = x^{3} + 2 a x^{2}$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ とする。 $C_{1}^{'}$ の傾きは $3 x^{2} + 4 a x$ であるから，この点における接線は

y - (t^{3} + 2 a t^{2}) = (3 t^{2} + 4 a t) (x - t)

すなわち

y = (3 t^{2} + 4 a t) x - 2 t^{3} - 2 a t^{2}

である。

この直線が $C_{2} : y = 3 a x^{2} - 3/ a$ に接するためには，両式を連立して得られる二次方程式

3 a x^{2} - (3 t^{2} + 4 a t) x + 2 t^{3} + 2 a t^{2} - \frac{3}{a} = 0

が重解をもてばよい。判別式を0とすると

(3 t^{2} + 4 a t)^{2} - 12 a (2 t^{3} + 2 a t^{2} - \frac{3}{a}) = 0

である。整理して

9 t^{4} - 8 a^{2} t^{2} + 36 = 0

を得る。ここで $t = 0$ では左辺が $36$ となり不可能なので， $u = t^{2} > 0$ とおく。すると

9 u^{2} - 8 a^{2} u + 36 = 0

が正の解をもつ条件を考えればよい。

この二次方程式は定数項が正で，解の和が $8 a^{2} /9 > 0$ である。したがって実数解をもてば2解はいずれも正である。よって必要十分条件は判別式が0以上であること，すなわち

(8 a^{2})^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 36 ≧ 0

である。これより

64 a^{4} - 1296 ≧ 0, a^{2} ≧ \frac{9}{2}

となる。 $a > 0$ だから，求める範囲は

a ≧ \frac{3 2}{2}

である。

一橋大学 2023年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

一橋大学 2023年度
文系数学第2問