一橋大学 2017年度
文系数学 第4問
- 試験区分
- 前期
- 対象
- 前期日程対象学部
- 分野
- 図形と方程式、方程式・不等式
- 解法
- 座標設定、面積計算、不等式評価、計算整理
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 18分
問題
正の実数a，b，cはa+b+c=1を満たす．連立不等式
∣ax+by∣≦1，∣cx−by∣≦1
の表すxy平面の領域をDとする．Dの面積の最小値を求めよ．
出典：一橋大学 2017年度 前期 文系 第4問
方針
2つの絶対値不等式を4本の直線で囲まれる平行四辺形として見る。隣り合う2頂点を求め，1辺の長さと平行線間の距離から面積を b(a+c)4 と表す。条件 a+b+c=1 から a+c=1−b として，b(1−b) の最大値を使う。
解答
領域 D は
−1≦ax+by≦1,−1≦cx−by≦1
で表されるので，2組の平行線で囲まれる平行四辺形である。
直線 ax+by=1 と cx−by=1 の交点を P，直線 ax+by=1 と cx−by=−1 の交点を Q とする。連立して解くと
P=(a+c2,b(a+c)c−a),Q=(0,b1)
である。したがって
である。また，平行線 ax+by=1 と ax+by=−1 の距離は
である。よって D の面積 S は
S=b(a+c)2a2+b2⋅a2+b22=b(a+c)4
となる。
条件 a+b+c=1 より a+c=1−b であり，a,b,c は正だから 0<b<1 である。したがって
S=b(1−b)4
である。ここで
b(1−b)=−(b−21)2+41≦41
だから，S≧16 である。b=21 で，例えば a,c>0 かつ a+c=21 とすれば等号が成り立つ。よって面積の最小値は 16 である。
