一橋大学 2017年度文系数学第1問解答・解説

問題

実数 $a ， b$ は $a ≧ 1 ， b ≧ 1 ， a + b = 9$ を満たす．(1)　 $l o g_{3} a + l o g_{3} b$ の最大値と最小値を求めよ．(2)　 $l o g_{2} a + l o g_{4} b$ の最大値と最小値を求めよ．

出典：一橋大学 2017年度前期文系第1問

方針

$b = 9 - a$ とおき， $1 ≦ a ≦ 8$ の一変数問題にする。(1)は $ab = a (9 - a)$ の最大最小，(2)は底を $4$ にそろえて $a^{2} b = a^{2} (9 - a)$ の最大最小を調べる。

解答

(1)

$b = 9 - a$ であり， $a ≧ 1$ ， $b ≧ 1$ より $1 ≦ a ≦ 8$ である。

lo g_{3} a + lo g_{3} b = lo g_{3} {a (9 - a)}

である。 $a (9 - a) = - (a - \frac{9}{2})^{2} + \frac{81}{4}$ だから， $1 ≦ a ≦ 8$ において最大値は $\frac{81}{4}$ ，最小値は端点での $8$ である。よって

lo g_{3} a + lo g_{3} b

の最大値は $lo g_{3} \frac{81}{4} = 4 - 2 lo g_{3} 2$ ，最小値は $lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2$ である。

(2)

底を $4$ にそろえると

lo g_{2} a + lo g_{4} b = lo g_{4} a^{2} + lo g_{4} b = lo g_{4} {a^{2} (9 - a)}

である。 $g (a) = a^{2} (9 - a)$ とおくと

g^{'} (a) = 18 a - 3 a^{2} = 3 a (6 - a)

である。 $1 ≦ a ≦ 8$ では， $g (a)$ は $1 ≦ a ≦ 6$ で増加し， $6 ≦ a ≦ 8$ で減少する。したがって最大値は $g (6) = 108$ であり，最小値は端点を比べて $g (1) = 8$ である。よって最大値は $lo g_{4} 108 = 1 + 3 lo g_{4} 3$ ，最小値は $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ である。

一橋大学 2017年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2017年度
文系数学第1問