一橋大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

連立方程式

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} = y z + 7 y^{2} = z x + 7 z^{2} = x y + 7

を満たす整数の組 $(x, y, z)$ で $x ≦ y ≦ z$ となるものを求めよ．

出典：一橋大学 2017年度前期文系第2問

方針

3式を引き算して， $(x - y) (x + y + z) = 0$ ， $(y - z) (x + y + z) = 0$ を得る。 $x + y + z \neq = 0$ なら $x = y = z$ となって矛盾するので， $x + y + z = 0$ に帰着する。あとは $x, y$ を2次方程式の2根と見て，判別式が非負の平方数になる $z$ を調べる。

解答

第1式から第2式を引くと

x^{2} - y^{2} = y z - z x

であるから

(x - y) (x + y + z) = 0

を得る。同様に第2式から第3式を引くと

(y - z) (x + y + z) = 0

である。もし $x + y + z \neq = 0$ なら $x = y$ かつ $y = z$ であり， $x = y = z$ となる。しかしこのとき第1式は $x^{2} = x^{2} + 7$ となり矛盾する。したがって

x + y + z = 0

である。

条件 $x ≦ y ≦ z$ と和が $0$ であることから $z ≧ 0$ である。また $x + y = - z$ であり，第3式から $x y = z^{2} - 7$ である。よって $x, y$ は2次方程式

T^{2} + z T + z^{2} - 7 = 0

の2つの整数解である。この判別式は

Δ = z^{2} - 4 (z^{2} - 7) = 28 - 3 z^{2}

である。 $z ≧ 0$ かつ $Δ ≧ 0$ より $z = 0, 1, 2, 3$ のみを調べればよい。

$z = 0$ のとき $Δ = 28$ で平方数でない。 $z = 1$ のとき $Δ = 25$ で，解は $- 3, 2$ であるが $y ≦ z$ を満たさない。 $z = 2$ のとき $Δ = 16$ で， $(x, y) = (- 3, 1)$ を得る。 $z = 3$ のとき $Δ = 1$ で， $(x, y) = (- 2, - 1)$ を得る。

よって求める組は

(- 3, 1, 2), (- 2, - 1, 3)

である。

一橋大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

一橋大学 2017年度
文系数学第2問