広島大学 2026年度文系数学第4問解答・解説

問題

$m, a$ を実数とし，二つの関数

f (x) = x^{2} - m x + a, g (x) = x f (x)

を考える。座標平面上の放物線 $y = f (x)$ を $C_{1}$ とし，曲線 $y = g (x)$ を $C_{2}$ とする。 $f (1) = 0$ ， $g^{'} (a) < 0$ であるとする。次の問いに答えよ。

(1) 実数 $α, β$ に対して

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{1}{6} (β - α)^{3}

が成り立つことを示せ。

(2) $m$ を $a$ を用いて表せ。また， $a$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(3) 放物線 $C_{1}$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_{1}$ を $a$ を用いて表せ。

(4) 曲線 $C_{2}$ 上の点 $P (a, g (a))$ を考える。点Pにおける曲線 $C_{2}$ の接線を $ℓ$ とする。直線 $ℓ$ と放物線 $C_{1}$ で囲まれた部分の面積 $S_{2}$ を $a$ を用いて表せ。

(5) $S_{1}$ と $S_{2}$ をそれぞれ(3)と(4)で求めたものとし， $T = S_{1} - 4 S_{2}$ とする。 $a$ が(2)で求めた範囲を動くとき， $T$ が最大となる $a$ の値とそのときの $T$ の値を求めよ。

出典：広島大学 2026年度前期文系第4問

方針

$f (1) = 0$ から $f (x) = (x - a) (x - 1)$ に直す。接線と放物線の交点も因数分解で求められるので，(1)の積分公式を二度使って面積を出し，最後は $(1 - a)^{3}$ を一変数として最大化する。

解答

(1)

$x = α + u$ とおくと，積分区間は $0 ≦ u ≦ β - α$ となり，

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \int_{0}^{β - α} u {u - (β - α)} d u

である。よって

\int_{0}^{β - α} {u^{2} - (β - α) u} d u = \frac{( β - α ) ^{3}}{3} - \frac{( β - α ) ^{3}}{2} = - \frac{1}{6} (β - α)^{3}

である。

(2)

$f (1) = 0$ より

1 - m + a = 0

であるから，

m = a + 1

である。また

g^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 m x + a

であるから， $m = a + 1$ を用いると

g^{'} (a) = 3 a^{2} - 2 a (a + 1) + a = a (a - 1)

である。 $g^{'} (a) < 0$ より

0 < a < 1

である。

(3)

$m = a + 1$ より

f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a = (x - a) (x - 1)

である。 $0 < a < 1$ だから， $a < x < 1$ で $f (x) < 0$ である。したがって(1)を用いて

S_{1} = - \int_{a}^{1} (x - a) (x - 1) d x = \frac{1}{6} (1 - a)^{3}

である。

(4)

$f (a) = 0$ であるから $g (a) = a f (a) = 0$ であり，点Pは $(a, 0)$ である。接線 $ℓ$ の傾きは

g^{'} (a) = a (a - 1)

であるから， $ℓ$ は

y = a (a - 1) (x - a)

である。放物線 $C_{1}$ との差をとると

f (x) - a (a - 1) (x - a) = (x - a) {x - (1 - a + a^{2})}

である。よってもう一つの交点の $x$ 座標は $1 - a + a^{2}$ である。 $a < x < 1 - a + a^{2}$ では接線が放物線の上にあるので，(1)より

S_{2} = - \int_{a}^{1 - a + a^{2}} (x - a) {x - (1 - a + a^{2})} d x = \frac{1}{6} {(1 - a + a^{2}) - a}^{3} = \frac{1}{6} (1 - a)^{6}

である。

(5)

(3)，(4)より

T = \frac{1}{6} (1 - a)^{3} - \frac{4}{6} (1 - a)^{6}

である。 $u = (1 - a)^{3}$ とおくと， $0 < a < 1$ より $0 < u < 1$ であり，

T = \frac{1}{6} (u - 4 u^{2})

である。これは $u = 1/8$ のとき最大となる。したがって

1 - a = \frac{1}{2}, a = \frac{1}{2}

であり，最大値は

\frac{1}{6} (\frac{1}{8} - 4 \cdot \frac{1}{64}) = \frac{1}{96}

である。

広島大学 2026年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

広島大学 2026年度
文系数学第4問