広島大学 2026年度文系数学第2問解答・解説

問題

すべての面が合同な四面体OABCがあり， $OA = 2$ ， $OB = OC = 5$ である。点Oから $3$ 点A，B，Cの定める平面に垂線OHを下ろす。 $O A = a$ ， $O B = b$ ， $O C = c$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 内積 $a \cdot b$ ， $b \cdot c$ ， $c \cdot a$ の値を求めよ。

(2) $O H ⊥ A B$ ， $O H ⊥ A C$ であることを利用して， $A H = s A B + t A C$ を満たす実数 $s, t$ の値を求めよ。

(3) 垂線OHの長さを求めよ。

(4) 四面体OABCの体積を求めよ。

出典：広島大学 2026年度前期文系第2問

すべての面が合同であることから対辺の長さをそろえ，余弦定理型の内積公式で内積を出す。Hの位置は $O H$ を $a, b, c$ で表し，垂直条件を連立方程式にする。

すべての面が合同であるから， $AB = AC = 5$ ， $BC = 2$ である。したがって

a \cdot b = \frac{OA ^{2} + OB ^{2} - AB ^{2}}{2} = \frac{2 + 5 - 5}{2} = 1,

b \cdot c = \frac{OB ^{2} + OC ^{2} - BC ^{2}}{2} = \frac{5 + 5 - 2}{2} = 4,

c \cdot a = \frac{OC ^{2} + OA ^{2} - AC ^{2}}{2} = \frac{5 + 2 - 5}{2} = 1

である。

$A B = b - a$ ， $A C = c - a$ である。また

O H = a + s (b - a) + t (c - a) = (1 - s - t) a + s b + t c

である。垂直条件より

O H \cdot (b - a) = 0, O H \cdot (c - a) = 0

である。内積の値を代入すると

5 s + 4 t = 1, 4 s + 5 t = 1

を得る。よって

s = t = \frac{1}{9}

である。

(2)より

O H = \frac{7}{9} a + \frac{1}{9} b + \frac{1}{9} c

である。したがって

OH^{2} = \frac{7}{9} a + \frac{1}{9} b + \frac{1}{9} c^{2} = \frac{16}{9}

となるから，

OH = \frac{4}{3}

である。

三角形ABCは辺の長さが $5, 5, 2$ の二等辺三角形である。底辺を $2$ とすると高さは $3/ 2$ であるから，面積は

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

である。よって四面体OABCの体積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}

である。