広島大学 2026年度文系数学第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{2} = 3$ ， $a_{5} = 9$ を満たす等差数列とする。数列 ${b_{n}}$ ， ${c_{n}}$ を

b_{1} = 1, b_{n + 1} = \frac{n}{n + 1} b_{n} + \frac{1}{n + 1} a_{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

c_{1} = 1, c_{n + 1} = (1 - \frac{1}{n}) c_{n} + \frac{1}{n ^{2} ( a _{n + 1} - b _{n} )} (n = 1, 2, 3, \dots)

により定める。次の問いに答えよ。

(1) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 ${d_{n}}$ を $d_{n} = n b_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ により定める。数列 ${d_{n}}$ ， ${b_{n}}$ の一般項をそれぞれ求めよ。

(3) 数列 ${c_{n}}$ の一般項を求めよ。

(4) $b_{n} /2$ を超えない最大の整数を $p_{n}$ とし，数列 ${q_{n}}$ を

q_{n} = 24 c_{n} + p_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

により定める。 $q_{2 k + 1} > q_{2 k - 1}$ を満たす最小の自然数 $k$ を求めよ。また， $q_{n}$ が最小となるときの自然数 $n$ を求めよ。

出典：広島大学 2026年度前期文系第3問

$d_{n} = n b_{n}$ とおく指定をそのまま使い， $b_{n}$ を先に簡単にする。 $c_{n}$ は $(n - 1) c_{n}$ を考えて階差に直し，最後は偶数番目と奇数番目を分けて最小値を調べる。

公差を $r$ とすると， $a_{5} - a_{2} = 3 r = 6$ であるから $r = 2$ である。 $a_{2} = 3$ より $a_{1} = 1$ である。したがって

a_{n} = 2 n - 1

である。

$d_{n} = n b_{n}$ とおくと，漸化式より

d_{n + 1} = (n + 1) b_{n + 1} = n b_{n} + a_{n + 1} = d_{n} + 2 n + 1

である。また $d_{1} = 1$ であるから

d_{n} = 1 + j = 1 \sum n - 1 (2 j + 1) = 1 + (n^{2} - 1) = n^{2}

である。よって

b_{n} = n

である。

(1)，(2)より $a_{n + 1} - b_{n} = (2 n + 1) - n = n + 1$ である。したがって

c_{n + 1} = \frac{n - 1}{n} c_{n} + \frac{1}{n ^{2} ( n + 1 )}

である。 $n = 1$ を代入すると $c_{2} = 1/2$ である。 $n ≧ 2$ で $u_{n} = (n - 1) c_{n}$ とおくと

u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{n ( n + 1 )}

である。 $u_{2} = 1/2$ より

u_{n} = \frac{1}{2} + j = 2 \sum n - 1 \frac{1}{j ( j + 1 )} = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{n}) = 1 - \frac{1}{n}

となる。よって $n ≧ 2$ で $c_{n} = 1/ n$ であり， $c_{1} = 1$ も同じ式を満たす。したがって

c_{n} = \frac{1}{n}

である。

$b_{n} = n$ であるから

p_{n} = ⌊ \frac{n}{2} ⌋, q_{n} = \frac{24}{n} + ⌊ \frac{n}{2} ⌋

である。奇数番目について

q_{2 k + 1} - q_{2 k - 1} = 1 + \frac{24}{2 k + 1} - \frac{24}{2 k - 1} = 1 - \frac{48}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )}

である。これが正となる最小の $k$ は

(2 k - 1) (2 k + 1) > 48

を満たす最小の自然数であるから， $k = 4$ である。

また，偶数 $n = 2 r$ については

q_{2 r} = \frac{12}{r} + r

であり，整数 $r$ で調べると最小値は $r = 3, 4$ のときの $7$ である。奇数番目は上の差の符号から $q_{1}, q_{3}, q_{5}, q_{7}$ まで減少し，その後は増加する。したがって奇数番目の最小は

q_{7} = \frac{24}{7} + 3 = \frac{45}{7}

である。 $45/7 < 7$ より， $q_{n}$ が最小となるのは

n = 7

である。