広島大学 2020年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする．次の問いに答えよ．(1)　定積分 $\int_{0}^{\frac{π}{n}} sin n x d x$ の値を求めよ．(2)　定積分 $\int_{0}^{π} ∣ sin n x ∣ d x$ の値を求めよ．(3)　座標平面において連立不等式 $0 ≦ x ≦ π,$ $0 ≦ y ≦ \frac{1}{2},$ $y ≦ ∣ sin n x ∣$ の表す図形を， $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる回転体の体積を求めよ．(4)　座標平面において連立不等式 $0 ≦ x ≦ π,$ $0 ≦ y ≦ x ∣ sin n x ∣$ の表す図形を， $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる回転体の体積を求めよ．

出典：広島大学 2020年度前期理系第4問

方針

(1)(2)は $u = n x$ の置換と $∣ sin u ∣$ の周期性で求める。(3)は半径が $min (\frac{1}{2}, ∣ sin n x ∣)$ であることに注意し，1周期分に直して積分する。(4)は半径の二乗が $x sin^{2} n x$ になるので， $sin^{2} n x = \frac{1 - c o s 2 n x}{2}$ を用いる。

解答

(1)

\int_{0}^{\frac{π}{n}} sin n x d x = [- \frac{cos n x}{n}]_{0}^{\frac{π}{n}} = \frac{2}{n}

である。

(2)

$u = n x$ とおくと

\int_{0}^{π} ∣ sin n x ∣ d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{nπ} ∣ sin u ∣ d u

である。 $∣ sin u ∣$ の周期は $π$ であり， $\int_{0}^{π} sin u d u = 2$ だから，求める値は

2

である。

(3)

回転体の半径は $\frac{1}{2}$ と $∣ sin n x ∣$ の小さい方である。周期性より，体積は

π \int_{0}^{π} min (\frac{1}{4}, sin^{2} u) d u

に等しい。 $0 ≦ u ≦ π$ で $sin u ≧ \frac{1}{2}$ となるのは $\frac{π}{6} ≦ u ≦ \frac{5 π}{6}$ であるから，

\int_{0}^{π} min (\frac{1}{4}, sin^{2} u) d u = 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} sin^{2} u d u + \frac{1}{4} \cdot \frac{2 π}{3}

である。 $\int sin^{2} u d u = \frac{u}{2} - \frac{s i n 2 u}{4}$ より，これは

\frac{π}{3} - \frac{3}{4}

である。したがって体積は

π (\frac{π}{3} - \frac{3}{4})

である。

(4)

回転体の体積は

π \int_{0}^{π} x sin^{2} n x d x

である。 $sin^{2} n x = \frac{1 - c o s 2 n x}{2}$ より

\int_{0}^{π} x sin^{2} n x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} x d x - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} x cos 2 n x d x

である。 $n$ は正の整数なので $\int_{0}^{π} x cos 2 n x d x = 0$ である。よって体積は

π \cdot \frac{π ^{2}}{4} = \frac{π ^{3}}{4}

である。

広島大学 2020年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2020年度
理系数学第4問