広島大学 2020年度理系数学第3問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x e^{- 2 x^{2}}$ について，次の問いに答えよ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．(1)　関数 $f (x)$ の極大値および極小値を求めよ．また，極大値をとるときの $x$ の値，および極小値をとるときの $x$ の値を求めよ．(2)　 $a > 0$ とし，点 $A (a, 0)$ を考える．また，座標平面上の曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(t, f (t))$ における接線を $l_{t}$ とおく． $l_{t}$ が点 $A$ を通るような実数 $t$ がちょうど二つあるとする．このとき， $a$ の値を求めよ．さらに，その二つの $t$ の値を $p,$ $q$ （ただし， $p < q$ ）とおくとき， $p,$ $q$ を求めよ．(3)　 $q$ を(2)で定めた値とする．曲線 $y = f (x),$ 直線 $x = q$ および $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

出典：広島大学 2020年度前期理系第3問

方針

(1)は導関数 $(1 - 4 x^{2}) e^{- 2 x^{2}}$ の符号を見る。(2)では接線が $(a, 0)$ を通る条件を $a = \frac{4 t ^{3}}{4 t ^{2} - 1}$ に直し，この関数の増減から解の個数が2個になる接触値を求める。(3)は $q = \frac{3}{2}$ を用いて直接積分する。

解答

(1)

f^{'} (x) = (1 - 4 x^{2}) e^{- 2 x^{2}}

である。したがって $x = - \frac{1}{2}$ で極小， $x = \frac{1}{2}$ で極大となる。極大値は

f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^{- 1/2}

であり，極小値は

f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} e^{- 1/2}

である。

(2)

点 $(t, f (t))$ における接線が $(a, 0)$ を通る条件は

- f (t) = f^{'} (t) (a - t)

である。 $t \neq = \pm \frac{1}{2}$ として整理すると

a = \frac{4 t ^{3}}{4 t ^{2} - 1}

である。右辺を $h (t)$ とおくと

h^{'} (t) = \frac{4 t ^{2} ( 4 t ^{2} - 3 )}{( 4 t ^{2} - 1 ) ^{2}}

である。 $a > 0$ となる範囲は $- \frac{1}{2} < t < 0$ と $t > \frac{1}{2}$ である。前者では $h (t)$ は $+ \infty$ から $0$ まで単調に減少する。後者では $t = \frac{3}{2}$ で最小値をとり，その値は

h (\frac{3}{2}) = \frac{3 3}{4}

である。したがって解がちょうど二つとなるのは

a = \frac{3 3}{4}

のときである。このとき

\frac{4 t ^{3}}{4 t ^{2} - 1} = \frac{3 3}{4}

を解くと

16 (\frac{t}{3})^{3} - 12 (\frac{t}{3})^{2} + 1 = 0

であり，

(2 \frac{t}{3} - 1)^{2} (4 \frac{t}{3} + 1) = 0

となる。よって

p = - \frac{3}{4}, q = \frac{3}{2}

である。

(3)

$q = \frac{3}{2}$ であり， $0 ≦ x ≦ q$ では $f (x) ≧ 0$ である。求める面積は

\int_{0}^{q} x e^{- 2 x^{2}} d x = [- \frac{1}{4} e^{- 2 x^{2}}]_{0}^{q}

である。 $q^{2} = \frac{3}{4}$ より

\frac{1}{4} (1 - e^{- 3/2})

である。

広島大学 2020年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2020年度
理系数学第3問