広島大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

$i$ を虚数単位とする． $z \neq = - 1$ を満たす複素数 $z$ に対し， $w = \frac{z - i}{z + 1}$ とおく．次の問いに答えよ．(1)　 $z \neq = - 1$ のとき $w \neq = 1$ であることを示せ．また， $w \neq = 1$ のとき， $z$ を $w$ を用いて表せ．(2)　 $t$ を $- 1$ と異なる実数とする．複素数平面において，実部が $t$ である複素数全体の描く直線を $l_{t}$ とおく．点 $z$ が直線 $l_{t}$ 上を動くとき，点 $w$ はある円 $S_{t}$ から $1$ 点を取り除いた図形の上を動く．この円 $S_{t}$ の中心 $P_{t}$ に対応する複素数を $t$ を用いて表せ．(3)　 $P_{t}$ を(2)で定義した点とする． $t$ が $- 1$ 以外の実数全体を動くときに $P_{t}$ が描く図形を，複素数平面上に図示せよ．

出典：広島大学 2020年度前期理系第2問

方針

(1)は分数式を直接変形する。(2)では $z = \frac{w + i}{1 - w}$ を用い， $w = u + v i$ とおいて実部が $t$ である条件を円の方程式に直す。中心座標を読み取り，(3)ではその座標から $t$ を消去する。

解答

(1)

もし $w = 1$ ならば

\frac{z - i}{z + 1} = 1

より $z - i = z + 1$ となるが，これは成り立たない。よって $w \neq = 1$ である。また

w (z + 1) = z - i

より

z = \frac{w + i}{1 - w}

である。

(2)

$w = u + v i$ とおく。(1)より

z = \frac{u + ( v + 1 ) i}{1 - u - v i}

である。分母を実数化すると， $z$ の実部は

\frac{u ( 1 - u ) - v ( v + 1 )}{( 1 - u ) ^{2} + v ^{2}}

である。これが $t$ に等しいので，整理して

(t + 1) (u^{2} + v^{2}) - (2 t + 1) u + v + t = 0

を得る。 $t \neq = - 1$ より，これは円であり，中心は

(\frac{2 t + 1}{2 ( t + 1 )}, - \frac{1}{2 ( t + 1 )})

である。したがって $P_{t}$ に対応する複素数は

\frac{2 t + 1}{2 ( t + 1 )} - \frac{1}{2 ( t + 1 )} i

である。

(3)

$P_{t}$ の座標を $(X, Y)$ とすると，(2)より

X = 1 - \frac{1}{2 ( t + 1 )}, Y = - \frac{1}{2 ( t + 1 )}

である。したがって

Y = X - 1

である。また $t \neq = - 1$ なので $Y \neq = 0$ である。よって $P_{t}$ の描く図形は，直線 $Y = X - 1$ から点 $(1, 0)$ を除いたものである。図では直線 $Y = X - 1$ を描き，点 $(1, 0)$ を除く点として示せばよい。

広島大学 2020年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2020年度
理系数学第2問