広島大学 2020年度文理共通数学第5問解答・解説

問題

$1$ 個のさいころを $3$ 回投げる． $1$ 回目に出た目を $a_{1},$ $2$ 回目に出た目を $a_{2},$ $3$ 回目に出た目を $a_{3}$ とする．次に， $1$ 枚の硬貨を $3$ 回投げる． $k = 1,$ $2,$ $3$ に対し， $k$ 回目に表が出た場合は $b_{k} = 1,$ 裏が出た場合は $b_{k} = a_{k}$ とおく．ベクトル $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}),$ $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ を考える．次の問いに答えよ．(1)　 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7$ である確率を求めよ．(2)　 $b_{1} = 1$ である確率を求めよ．(3)　 $b = (1, 1, 1)$ であったとき， $a = (1, 1, 5)$ である条件付き確率を求めよ．(4)　 $b = (1, 1, 1)$ であったとき， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7$ である条件付き確率を求めよ．

出典：広島大学 2020年度前期文理共通第5問

方針

2次元版と同じく，各成分で $a_{k} = 1$ なら $b_{k} = 1$ が確定し， $a_{k} \neq = 1$ なら表のときだけ $b_{k} = 1$ になる。条件付き確率の分母 $P (b = (1, 1, 1))$ を求め，(4)では和が7の三つ組を1の個数で分類して重み付きで数える。

解答

(1)

正の整数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ が $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7$ を満たす組は15通りである。したがって求める確率は

\frac{15}{216} = \frac{5}{72}

である。

(2)

$b_{1} = 1$ となるのは，硬貨の1回目が表である場合，または硬貨の1回目が裏で $a_{1} = 1$ の場合である。よって

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{12}

である。

(3)

各成分について $P (b_{k} = 1) = \frac{7}{12}$ であり，3回は独立なので

P (b = (1, 1, 1)) = (\frac{7}{12})^{3} = \frac{343}{1728}

である。 $a = (1, 1, 5)$ のもとで $b = (1, 1, 1)$ となる硬貨の確率は $1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ であるから，

P (a = (1, 1, 5), b = (1, 1, 1)) = \frac{1}{216} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{432}

である。したがって条件付き確率は

\frac{1/432}{343/1728} = \frac{4}{343}

である。

(4)

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7$ となる三つ組を，成分に含まれる1の個数で分ける。1を2個含むものは3通りで，重みはそれぞれ $\frac{1}{2}$ 。1を1個含むものは9通りで，重みはそれぞれ $\frac{1}{4}$ 。1を含まないものは3通りで，重みはそれぞれ $\frac{1}{8}$ 。よって

P (a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7, b = (1, 1, 1)) = \frac{1}{216} (3 \cdot \frac{1}{2} + 9 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8}) = \frac{33}{1728}

である。したがって条件付き確率は

\frac{33/1728}{343/1728} = \frac{33}{343}

である。

広島大学 2020年度文理共通数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2020年度
文理共通数学第5問